( ∗ ) { 7 − x ≠ 1 7 − x > 0 2 x + 3 > 0 2 x + 3 ≠ 1 3 x + 4 > 0 3 x + 4 ≠ 1 3 x 2 > 0 ⇔ { x ≠ 6 x < 7 x > − 1 , 5 x ≠ − 1 x > − 4 3 x ≠ − 1 x ≠ 0 ⇔ { x ≠ 6 x < 7 x > − 1 , 5 x ≠ − 1 x > − 4 3 x ≠ 0 ⇒ x ∈ ( − 4 3 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 6 ) ∪ ( 6 ; 7 ) (*) \begin{cases}
7 - x \neq 1\\
7 - x > 0\\
2x + 3 > 0\\
2x + 3 \neq 1\\
3x + 4 > 0\\
3x + 4 \neq 1\\
3x^2 > 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x \neq 6\\
x < 7\\
x > -1,5\\
x \neq -1\\
x> -\frac{4}{3}\\
x \neq -1\\
x \neq 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x \neq 6\\
x < 7\\
x > -1,5\\
x \neq -1\\
x> -\frac{4}{3}\\
x \neq 0
\end{cases} \Rightarrow x \in (-\tfrac{4}{3}; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 6) \cup (6; 7) ( ∗ ) ⎩ ⎨ ⎧ 7 − x = 1 7 − x > 0 2 x + 3 > 0 2 x + 3 = 1 3 x + 4 > 0 3 x + 4 = 1 3 x 2 > 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x = 6 x < 7 x > − 1 , 5 x = − 1 x > − 3 4 x = − 1 x = 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x = 6 x < 7 x > − 1 , 5 x = − 1 x > − 3 4 x = 0 ⇒ x ∈ ( − 3 4 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 6 ) ∪ ( 6 ; 7 )
Если выполняется условие ( ∗ ) (*) ( ∗ ) log a b ⋅ log b c = log a c \log_ab\cdot\log_bc = \log_ac log a b ⋅ log b c = log a c
Преобразуем неравенство:
log 7 − x ( 3 x 2 ) ≤ log 7 − x ( 10 x + 25 ) ⇔ log 7 − x ( 3 x 2 ) − log 7 − x ( 10 x + 25 ) ≤ 0 \log_{7 - x}(3x^2) \leq \log_{7 - x}(10x + 25) \Leftrightarrow \log_{7 - x}(3x^2) - \log_{7 - x}(10x + 25) \leq 0 log 7 − x ( 3 x 2 ) ≤ log 7 − x ( 10 x + 25 ) ⇔ log 7 − x ( 3 x 2 ) − log 7 − x ( 10 x + 25 ) ≤ 0 ( 7 − x − 1 ) ( 3 x 2 − 10 x − 25 ) ≤ 0 ⇔ ( x − 6 ) ( 3 x 2 − 10 x − 25 ) ≥ 0 ⇔ (7 - x - 1)(3x^2 - 10x - 25) \leq 0 \Leftrightarrow (x - 6)(3x^2 - 10x - 25) \geq 0 \Leftrightarrow ( 7 − x − 1 ) ( 3 x 2 − 10 x − 25 ) ≤ 0 ⇔ ( x − 6 ) ( 3 x 2 − 10 x − 25 ) ≥ 0 ⇔ ⇔ ( x − 6 ) ( x − 5 ) ( 3 x + 5 ) ≥ 0 \Leftrightarrow (x - 6)(x - 5)(3x + 5) \geq 0 ⇔ ( x − 6 ) ( x − 5 ) ( 3 x + 5 ) ≥ 0
Получаем:
x ∈ [ − 5 3 ; 5 ] ∪ [ 6 ; + ∞ ) x \in [-\tfrac{5}{3}; 5] \cup [6; +\infty) x ∈ [ − 3 5 ; 5 ] ∪ [ 6 ; + ∞ )
С учётом ограничения ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x ∈ ( − 4 3 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 5 ] ∪ ( 6 ; 7 ) x \in \left(-\frac{4}{3}; -1\right) \cup (-1; 0) \cup (0; 5] \cup (6; 7) x ∈ ( − 3 4 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 5 ] ∪ ( 6 ; 7 )
Ответ: ( − 4 3 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 5 ] ∪ ( 6 ; 7 ) \left(-\frac{4}{3}; -1\right) \cup (-1; 0) \cup (0; 5] \cup (6; 7) ( − 3 4 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 5 ] ∪ ( 6 ; 7 )
