∗ { x 2 + x ≠ 1 x 2 + x > 0 x 2 − 2 x + 1 > 0 ⇔ { x 2 + x − 1 ≠ 0 x ( x + 1 ) > 0 ( x − 1 ) 2 > 0 ⇔ { x ≠ − 1 ± 5 2 x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) x ≠ 1 ⇒ *\begin{cases}
x^2 + x \neq 1\\
x^2 + x > 0\\
x^2 - 2x + 1 > 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x^2 + x - 1 \neq 0\\
x(x + 1) > 0\\
(x - 1)^2 > 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x \neq \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\\
x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)\\
x \neq 1
\end{cases} \Rightarrow ∗ ⎩ ⎨ ⎧ x 2 + x = 1 x 2 + x > 0 x 2 − 2 x + 1 > 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x 2 + x − 1 = 0 x ( x + 1 ) > 0 ( x − 1 ) 2 > 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 − 1 ± 5 x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) x = 1 ⇒ ⇒ x ∈ ( − ∞ ; − 1 − 5 2 ) ∪ ( − 1 − 5 2 ; − 1 ) ∪ ( 0 ; − 1 + 5 2 ) ∪ ( − 1 + 5 2 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) \Rightarrow x \in \left(-\infty; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2};1 \right) \cup (1; +\infty) ⇒ x ∈ ( − ∞ ; 2 − 1 − 5 ) ∪ ( 2 − 1 − 5 ; − 1 ) ∪ ( 0 ; 2 − 1 + 5 ) ∪ ( 2 − 1 + 5 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
Вернёмся к исходному неравенству:
log x 2 + x ( x 2 − 2 x + 1 ) − 1 ≤ 0 ⇔ log x 2 + x ( x 2 − 2 x + 1 ) − log x 2 + x ( x 2 + x ) ≤ 0 \log_{x^2+ x}(x^2 - 2x + 1) - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \log_{x^2+ x}(x^2 - 2x + 1) - \log_{x^2+ x}(x^2 + x) \leq 0 log x 2 + x ( x 2 − 2 x + 1 ) − 1 ≤ 0 ⇔ log x 2 + x ( x 2 − 2 x + 1 ) − log x 2 + x ( x 2 + x ) ≤ 0 ( x 2 + x − 1 ) ( x 2 − 2 x + 1 − x 2 − x ) ≤ 0 ⇔ ( x − − 1 − 5 2 ) ( x − − 1 + 5 2 ) ( 1 − 3 x ) ≤ 0 (x^2 + x - 1)(x^2 -2x + 1 - x^2 - x) \leq 0 \Leftrightarrow \left(x - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\right)\left(x - \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\right)(1 - 3x) \leq 0 ( x 2 + x − 1 ) ( x 2 − 2 x + 1 − x 2 − x ) ≤ 0 ⇔ ( x − 2 − 1 − 5 ) ( x − 2 − 1 + 5 ) ( 1 − 3 x ) ≤ 0
Получаем:
x ∈ [ − 1 − 5 2 ; 1 3 ] ∪ [ − 1 + 5 2 ; + ∞ ) x \in \left[\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty\right) x ∈ [ 2 − 1 − 5 ; 3 1 ] ∪ [ 2 − 1 + 5 ; + ∞ )
С учётом ограничения ∗ * ∗ x ∈ ( − 1 − 5 2 ; − 1 ) ∪ ( 0 ; 1 3 ] ∪ ( − 1 + 5 2 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) x \in \left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \frac{1}{3}\right] \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; 1\right) \cup (1; +\infty) x ∈ ( 2 − 1 − 5 ; − 1 ) ∪ ( 0 ; 3 1 ] ∪ ( 2 − 1 + 5 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
Ответ: ( − 1 − 5 2 ; − 1 ) ∪ ( 0 ; 1 3 ] ∪ ( − 1 + 5 2 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) \left(\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \frac{1}{3}\right] \cup \left(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; 1\right) \cup (1; +\infty) ( 2 − 1 − 5 ; − 1 ) ∪ ( 0 ; 3 1 ] ∪ ( 2 − 1 + 5 ; 1 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
