Тип 16 № 12337

Преобразуем числитель, выделяя степени с основанием 3: $$27^{x + 1} - 3\cdot9^{x + 1} + 3^{x + 2} - 1 = 3^{3(x + 1)} - 3\cdot3^{2(x + 1)} + 9\cdot3^x - 1$$ $$= 3^{3x + 3} - 3\cdot3^{2x + 2} + 9\cdot3^x - 1 = 27\cdot3^{3x} - 27\cdot3^{2x} + 9\cdot3^x - 1$$

Сделаем замену $t = 3^x$, $t > 0$: $$27t^3 - 27t^2 + 9t - 1$$

Заметим, что это полный куб: $$27t^3 - 27t^2 + 9t - 1 = (3t - 1)^3$$

Возвращаемся к переменной $x$: $$(3\cdot3^x - 1)^3 = (3^{x + 1} - 1)^3$$

Преобразуем знаменатель: $$50x^2 + 50x + 12,5 = 50(x^2 + x + 0,25) = 50(x + 0,5)^2$$

Неравенство принимает вид: $$\frac{(3^{x + 1} - 1)^3}{50(x + 0,5)^2} \geq 0$$

Применяем метод рационализации: $$\frac{(3^{x + 1} - 3^0)^3}{50(x + 0,5)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x + 1)^3}{50(x + 0,5)^2} \geq 0$$

Ответ: $x \in [-1; -0,5) \cup (-0,5; +\infty)$