Тип 14 № 12037

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$$5\cdot4^{x^2 + 4x} + 2\cdot10^{x^2 + 4x} -7\cdot25^{x^2 + 4x} = 0$$

Разделим все слагаемые на $4^{x^2 + 4x}$ (так как $4^{x^2 + 4x} > 0$):

$$5 + 2\cdot\left(\frac{10}{4}\right)^{x^2 + 4x} -7\cdot\left(\frac{25}{4}\right)^{x^2 + 4x} = 0$$

Сделаем замену $t = \left(\frac{5}{2}\right)^{x^2 + 4x} > 0$:

$$5 + 2\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{x^2 + 4x} -7\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{2(x^2 + 4x)} = 0$$ $$5 + 2t -7t^2 = 0 \Leftrightarrow7t^2 -2t -5 = 0$$ $$D = 4 + 140 = 144$$ $$t = \frac{2 \pm 12}{14}$$ $$\left[\begin{array}{l} t = \frac{14}{14} = 1 \\ \\ t = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7} \quad \text{(не подходит, так как \(t > 0\))} \end{array}\right.$$

Обратная замена:

$$\left(\frac{5}{2}\right)^{x^2 + 4x} = 1 \Leftrightarrow \left(\frac{5}{2}\right)^{x^2 + 4x} = \left(\frac{5}{2}\right)^0 \Leftrightarrow x^2 + 4x = 0$$ $$x(x + 4) = 0$$ $$\left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = -4 \end{array}\right.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-3; 1\right]$:

Корень $x = -4$ не принадлежит отрезку. Корень $x = 0$ принадлежит отрезку.

Ответ: а) $-4; 0;$, б) $0;$