Тип 14 № 11994

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$ Подставляем в уравнение: $$\sin 2x + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}$$ $$2\sin x \cos x + \sqrt{2}\sin x - 2\cos x - \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow 2\cos x(\sin x - 1) + \sqrt2(\sin x - 1) = 0$$ $$(\sin x - 1)(2\cos x + \sqrt{2}) = 0$$ $$\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{4}, \frac{5\pi}{2}$