Тип 14 № 11986

Используем формулы половинного угла: $$\sin^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}, \quad \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$$ Подставим в уравнение: $$\frac{\sin x}{\frac{1 - \cos x}{2}} = 4 \cdot \frac{1 + \cos x}{2}$$ $$\frac{2\sin x}{1 - \cos x} = 2(1 + \cos x)$$ $$\frac{\sin x}{1 - \cos x} = 1 + \cos x$$ Умножим обе части на $1 - \cos x$:

$$\left(*\right) 1 - \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq2\pi k, k \in Z$$

$$\sin x = (1 + \cos x)(1 - \cos x)$$ $$\sin x = 1 - \cos^2 x$$ $$\sin x = \sin^2 x$$ $$\sin x (\sin x - 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = 1$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$ С учётом $\left(*\right):$ $$x = \pi + 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{9\pi}{2}; -3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{2}, -3\pi$$

Ответ: а) $ x = \pi + 2\pi k,    x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,    k, n \in \mathbb{Z} $ б) $-\frac{7\pi}{2}, -3\pi$