Тип 14 № 11631

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$$ Подставим в уравнение: $$7\cos x + 4\sqrt{3}\sin x \cos x - 4\cos^3 x = 0$$ $$\cos x (7 + 4\sqrt{3}\sin x - 4\cos^2 x) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 7 + 4\sqrt{3}\sin x - 4(1 - \sin^2 x) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & 4\sin^2 x + 4\sqrt{3}\sin x + 3 = 0\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & (2\sin x + \sqrt3)^2 = 0\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & \sin x = -\frac{\sqrt3}{2}\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ & x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\\ & x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\\ \end{aligned} \right., k, n \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{5\pi}{2},-\frac{7\pi}{3}, -\frac{3\pi}{2}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{3}, -\frac{8\pi}{3}, -\frac{3\pi}{2}$