Тип 14 № 11607

Преобразуем обе части уравнения: $$25^{\sin x}=(5^2)^{\sin x}=5^{2\sin x},\qquad \left(\tfrac{1}{5}\right)^{-\sqrt2\,\sin 2x}=5^{\sqrt2\,\sin 2x}.$$ Тогда $$5^{2\sin x}=5^{\sqrt2\,\sin 2x}\;\;\Rightarrow\;\;2\sin x=\sqrt2\,\sin 2x.$$ $$2\sin x=2\sqrt2\,\sin x\cos x \;\;\Leftrightarrow\;\; 2\sin x\,(1-\sqrt2\,\cos x)=0.$$ Отсюда $$\sin x=0 \quad\text{или}\quad \cos x=\tfrac{1}{\sqrt2}=\tfrac{\sqrt2}{2}.$$

1. $\sin x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

2. $\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2} \;\Rightarrow\; x=\pm\tfrac{\pi}{4}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$

б) Отберём корни на отрезке $\left[2\pi;\tfrac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности.

Из $\sin x=0$: $x=2\pi,\;3\pi$.

Из $\cos x=\tfrac{\sqrt2}{2}$: $x=\tfrac{\pi}{4}+2\pi=\tfrac{9\pi}{4}$ (остальные значения либо меньше $2\pi$, либо больше $\tfrac{7\pi}{2}$).

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi,\;\tfrac{9\pi}{4},\;3\pi.$$

Ответ: а) $\pi k,\; \pm\tfrac{\pi}{4}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z};\qquad$ б) $2\pi,\;\tfrac{9\pi}{4},\;3\pi$.