Тип 14 № 11535

$$\left(*\right) \begin{cases} 2\sin^2x > 0\\ \log_{31}\sqrt2\cos x \neq 0\\ \sqrt2\cos x > 0\\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq \pi k, k \in Z\\ x \neq \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z\\ \cos x > 0\\ \cos x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z \end{cases}$$

а) $$\left[ \begin{aligned} & \tg x = -\sqrt3\\ &\log_{13}2\sin^2x = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tg x = -\sqrt3\\ &\sin x = \pm\frac{\sqrt2}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z\\ &x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z \end{aligned} \right.$$

С учётом $\left(*\right)$

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi= \frac{5\pi}{3}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi}{3}$