Тип 14 № 11526

$$\sin x (\cos 2x + 1) = \sqrt{3} \cos^2 x$$ $$\sin x (2\cos^2 x - 1 + 1) = \sqrt{3} \cos^2 x$$ $$2\sin x \cos^2 x = \sqrt{3} \cos^2 x$$ $$\cos^2 x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\cos x = 0 \\ &\sin x = \dfrac{\sqrt3}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \\ &x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2} \right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{7\pi}{2}; \frac{13\pi}{3}; \frac{9\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7\pi}{2}; \frac{13\pi}{3}; \frac{9\pi}{2}$