Тип 14 № 11525

Упростим уравнение: $$2\sin 2x - 2\sin x - 2\cos x + 1 = 0$$ $$4\sin x \cos x - 2\sin x - 2\cos x + 1 = 0$$ $$2\sin x (2\cos x - 1) - (2\cos x - 1) = 0$$ $$(2\cos x - 1)(2\sin x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\cos x = \dfrac{1}{2} \\ &\sin x = \dfrac{1}{2} \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \\ &x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} \quad$$ $$\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \quad$$ $$\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3} \quad$$

Корни, принадлежащие заданному отрезку: $$-\frac{23\pi}{6}; -\frac{11\pi}{3};-\frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{23\pi}{6}; -\frac{11\pi}{3};-\frac{19\pi}{6}$