Тип 14 № 11521

$$2\cos x - \sqrt{3}(1 - \cos^2 x) = 2\cos^3 x$$ $$2\cos x - \sqrt{3} + \sqrt{3}\cos^2 x = 2\cos^3 x$$ $$2\cos^3 x - \sqrt{3}\cos^2 x - 2\cos x + \sqrt{3} = 0$$

Сгруппируем слагаемые: $$(2\cos^3 x - 2\cos x) + (-\sqrt{3}\cos^2 x + \sqrt{3}) = 0$$ $$2\cos x(\cos^2 x - 1) - \sqrt{3}(\cos^2 x - 1) = 0$$ $$(\cos^2 x - 1)(2\cos x - \sqrt{3}) = 0$$

Решаем уравнение: $$\cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \pm 1$$ $$x = \pi k, \quad k \in Z$$ $$2\cos x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi; -\frac{13\pi}{6}; -2\pi$$

Ответ: а) $\pi k, k \in Z; \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z;$ б) $-3\pi; -\frac{13\pi}{6}; -2\pi;$