Тип 16 № 11446

$$(*) x > 0$$

Упростим неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_3(81x) = \log_381 + \log_3x = 4 + \log_3x$$ $$\log_3x^8 = 8\log_3x$$ $$\log_3^2x - 16 = (\log_3x - 4)(\log_3x + 4)$$

Обозначим $t = \log_3x$, тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 4}{t - 4} + \frac{t - 4}{t + 4} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$

Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 4)^2 + (t - 4)^2}{(t - 4)(t + 4)} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$ $$\frac{t^2 + 8t + 16 + t^2 - 8t + 16}{(t - 4)(t + 4)} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)}$$ $$\frac{2t^2 + 32}{(t - 4)(t + 4)} \geq \frac{24 - 8t}{(t - 4)(t + 4)} \Leftrightarrow \frac{2t^2 + 8t + 8}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t + 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t > 4\\ &t < -4\\ &t = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_3x > 4\\ &\log_3x < -4\\ &\log_3x = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_3x > \log_381\\ &\log_3x < \log_3\tfrac{1}{81}\\ &\log_3x = \log_3\tfrac{1}{9} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x > 81\\ &x < \tfrac{1}{81}\\ & x = \tfrac{1}{9} \end{aligned}\right.$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем систему:

$$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} & x > 81\\ &x < \tfrac{1}{81}\\ & x = \tfrac{1}{9} \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Получаем ответ: $x \in \left(0; \tfrac{1}{81}\right) \cup \left\{\tfrac{1}{9}\right\} \cup \left(81; +\infty\right)$

Ответ: $x \in \left(0; \tfrac{1}{81}\right) \cup \left\{\tfrac{1}{9}\right\} \cup \left(81; +\infty\right)$