( ∗ ) { 21 − 7 x > 0 x 2 − 8 x + 15 > 0 x + 3 > 0 ⇒ { x < 3 ( x − 3 ) ( x − 5 ) > 0 x > − 3 ⇒ { x < 3 x ∈ ( − ∞ ; 3 ) ∪ ( 5 ; + ∞ ) x > − 3 ⇒ x ∈ ( − 3 ; 3 ) (*)
\begin{cases}
21 - 7x > 0 \\
x^2 - 8x + 15 > 0 \\
x + 3 > 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x < 3 \\
(x - 3)(x - 5) > 0 \\
x > -3
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x < 3 \\
x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty) \\
x > -3
\end{cases}
\Rightarrow x \in (-3; 3) ( ∗ ) ⎩ ⎨ ⎧ 21 − 7 x > 0 x 2 − 8 x + 15 > 0 x + 3 > 0 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ x < 3 ( x − 3 ) ( x − 5 ) > 0 x > − 3 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ x < 3 x ∈ ( − ∞ ; 3 ) ∪ ( 5 ; + ∞ ) x > − 3 ⇒ x ∈ ( − 3 ; 3 )
Преобразуем исходное неравенство:
log 6 ( 21 − 7 x ) ≥ log 6 ( ( x 2 − 8 x + 15 ) ( x + 3 ) ) \log_6(21 - 7x) \geq \log_6\left((x^2 - 8x + 15)(x + 3)\right) log 6 ( 21 − 7 x ) ≥ log 6 ( ( x 2 − 8 x + 15 ) ( x + 3 ) )
Так как основание логарифма 6 > 1 6 > 1 6 > 1 21 − 7 x ≥ ( x 2 − 8 x + 15 ) ( x + 3 ) 21 - 7x \geq (x^2 - 8x + 15)(x + 3) 21 − 7 x ≥ ( x 2 − 8 x + 15 ) ( x + 3 ) 7 ( 3 − x ) ≥ ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 3 ) 7(3 - x) \geq (x - 3)(x - 5)(x + 3) 7 ( 3 − x ) ≥ ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 3 )
Умножим обе части на − 1 -1 − 1 7 ( x − 3 ) ≤ − ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 3 ) 7(x - 3) \leq -(x - 3)(x - 5)(x + 3) 7 ( x − 3 ) ≤ − ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 3 ) 7 ( x − 3 ) + ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 3 ) ≤ 0 7(x - 3) + (x - 3)(x - 5)(x + 3) \leq 0 7 ( x − 3 ) + ( x − 3 ) ( x − 5 ) ( x + 3 ) ≤ 0 ( x − 3 ) ( 7 + ( x − 5 ) ( x + 3 ) ) ≤ 0 (x - 3)\left(7 + (x - 5)(x + 3)\right) \leq 0 ( x − 3 ) ( 7 + ( x − 5 ) ( x + 3 ) ) ≤ 0 ( x − 3 ) ( x 2 − 2 x − 8 ) ≤ 0 (x - 3)(x^2 - 2x - 8) \leq 0 ( x − 3 ) ( x 2 − 2 x − 8 ) ≤ 0 ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) ≤ 0 (x - 3)(x - 4)(x + 2) \leq 0 ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) ≤ 0
Решение неравенства:
x ∈ ( − ∞ ; − 2 ] ∪ [ 3 ; 4 ] x \in \left(-\infty; -2\right] \cup [3; 4] x ∈ ( − ∞ ; − 2 ] ∪ [ 3 ; 4 ] ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x ∈ ( − 3 ; − 2 ] x \in \left(-3; -2\right] x ∈ ( − 3 ; − 2 ]
Ответ: x ∈ ( − 3 ; − 2 ] x \in \left(-3; -2\right] x ∈ ( − 3 ; − 2 ]
