( ∗ ) { x 2 − 6 x + 10 > 0 ( D > 0 ) x 2 − 6 x + 10 ≠ 1 5 x 2 + 3 > 0 для любого x 4 x 2 + 7 x + 3 > 0 ⇒ { x 2 − 6 x + 9 ≠ 0 4 x 2 + 7 x + 3 > 0 ⇒ { x ≠ 3 x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( − 3 4 ; + ∞ ) (*)
\begin{cases}
x^2 - 6x + 10 > 0 \quad (D > 0) \\
x^2 - 6x + 10 \neq 1 \\
5x^2 + 3 > 0 \quad \text{ для любого } x \\
4x^2 + 7x + 3 > 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x^2 - 6x + 9 \neq 0 \\
4x^2 + 7x + 3 > 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x \neq 3 \\
x \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{3}{4}; +\infty)
\end{cases} ( ∗ ) ⎩ ⎨ ⎧ x 2 − 6 x + 10 > 0 ( D > 0 ) x 2 − 6 x + 10 = 1 5 x 2 + 3 > 0 для любого x 4 x 2 + 7 x + 3 > 0 ⇒ { x 2 − 6 x + 9 = 0 4 x 2 + 7 x + 3 > 0 ⇒ { x = 3 x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( − 4 3 ; + ∞ )
В итоге:
x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( − 3 4 ; 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) x \in (-\infty; -1) \cup (-\tfrac{3}{4}; 3) \cup (3; +\infty) x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) ∪ ( − 4 3 ; 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ )
Преобразуем исходное неравенство:
2 ⋅ 1 2 log x 2 − 6 x + 10 ( 5 x 2 + 3 ) ≤ log x 2 − 6 x + 10 ( 4 x 2 + 7 x + 3 ) 2 \cdot \frac{1}{2} \log_{x^2 - 6x + 10}(5x^2 + 3) \leq \log_{x^2 - 6x + 10}(4x^2 + 7x + 3) 2 ⋅ 2 1 log x 2 − 6 x + 10 ( 5 x 2 + 3 ) ≤ log x 2 − 6 x + 10 ( 4 x 2 + 7 x + 3 ) log x 2 − 6 x + 10 ( 5 x 2 + 3 ) ≤ log x 2 − 6 x + 10 ( 4 x 2 + 7 x + 3 ) \log_{x^2 - 6x + 10}(5x^2 + 3) \leq \log_{x^2 - 6x + 10}(4x^2 + 7x + 3) log x 2 − 6 x + 10 ( 5 x 2 + 3 ) ≤ log x 2 − 6 x + 10 ( 4 x 2 + 7 x + 3 ) ( x 2 − 6 x + 10 − 1 ) ( 5 x 2 + 3 − 4 x 2 − 7 x − 3 ) ≤ 0 (x^2 - 6x + 10 - 1)(5x^2 + 3 - 4x^2 - 7x - 3) \leq 0 ( x 2 − 6 x + 10 − 1 ) ( 5 x 2 + 3 − 4 x 2 − 7 x − 3 ) ≤ 0 ( x − 3 ) 2 ( x 2 − 7 x ) ≤ 0 ⇔ ( x − 3 ) 2 x ( x − 7 ) ≤ 0 (x - 3)^2(x^2 - 7x) \leq 0 \Leftrightarrow (x - 3)^2x(x - 7) \leq 0 ( x − 3 ) 2 ( x 2 − 7 x ) ≤ 0 ⇔ ( x − 3 ) 2 x ( x − 7 ) ≤ 0
Решение неравенства: x ∈ [ 0 ; 7 ] x \in [0; 7] x ∈ [ 0 ; 7 ]
Учитывая ограничения (*), имеем:
x ∈ [ 0 ; 3 ) ∪ ( 3 ; 7 ] x \in [0; 3) \cup (3; 7] x ∈ [ 0 ; 3 ) ∪ ( 3 ; 7 ]
Ответ: x ∈ [ 0 ; 3 ) ∪ ( 3 ; 7 ] x \in [0; 3) \cup (3; 7] x ∈ [ 0 ; 3 ) ∪ ( 3 ; 7 ]
