Тип 16 № 11235

$$(*) x > 0$$ Сделаем замену $t = \log_4x$ $$\frac{(t + 2)^2}{t^2 - 9} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t + 2)^2}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0$$

Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t > 3\\ & t < -3\\ &t = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_4x > 3\\ & \log_4x < -3\\ &\log_4x = -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_4x > \log_464\\ & \log_4x < \log_4{\tfrac{1}{64}}\\ &\log_4x = \log_4{\tfrac{1}{16}} \end{aligned}\right.$$

Учитывая, что основания логарифмов $4 > 1$ и $(*)$, получаем систему: $$\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &\log_4x > \log_464\\ & \log_4x < \log_4{\tfrac{1}{64}}\\ &\log_4x = \log_4{\tfrac{1}{16}} \end{aligned}\right. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x > 64\\ & x < \tfrac{1}{64}\\ &x = \tfrac{1}{16} \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Ответ: $x \in (0; \tfrac{1}{64}) \cup \{\tfrac{1}{16}\} \cup (64; + \infty)$