Тип 19 № 11093

Пусть $x + \frac{a^2}{x} = t$. Имеем:

$$|t + 1| + |t - 1| = 2$$

Последовательно раскроем модули:

$$\left[\begin{aligned} & \begin{cases} t + 1 + t -1 = 2\\ t > 1 \end{cases}\\ &\begin{cases} t + 1 - t + 1 = 2\\ t \in[-1; 1] \end{cases}\\ &\begin{cases} -t -1 - t + 1 = 2\\ t < -1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & \begin{cases} t = 1\\ t > 1 \end{cases}\\ &t \in[-1; 1]\\ &\begin{cases} t = -1\\ t < -1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow t \in [-1; 1]$$

Исходное уравнение будет иметь решения, когда $t \in [-1; 1]$.

Проанализируем замену:

$$x + \frac{a^2}{x} = t \Leftrightarrow \frac{x^2 - xt + a^2}{x} = 0$$

$$\begin{cases} x^2 -xt + a^2 = 0\\ x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$

Данное уравнение будет иметь решения, когда $D \geq 0$:

$$D = t^2 - 4a^2 \geq 0 \Leftrightarrow (t- 2a)(t + 2a) \geq 0 \Rightarrow t \in (-\infty; -2|a|] \cup [2|a|; + \infty)$$

Учитывая, что $t \in [-1; 1]$, получаем условия:

$$\left[\begin{aligned} & -2|a| \geq -1\\ & 2|a| \leq 1 \end{aligned}\right. \Rightarrow |a| \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$$

Ответ: $\left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$