Тип 19 № 11073

$$(*) \begin{cases} 4x^2 - a^2 > 0 \\ 2x + a > 0 \\ 3x - 5 \geq 0 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{3x - 5}\left(\ln(4x^2 - a^2) - \ln(2x + a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{3x - 5} = 0 \\ &\ln(4x^2 - a^2) = \ln(2x + a) \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{3x - 5} = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{5}{3}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$: $$\begin{cases} 4\cdot\left(\tfrac{5}{3}\right)^2 - a^2 > 0 \\ 2\cdot\left(\tfrac{5}{3}\right) + a > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \tfrac{100}{9} - a^2 > 0 \\ \tfrac{10}{3} + a > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 < \tfrac{100}{9} \\ a > -\tfrac{10}{3} \end{cases} \Rightarrow a \in \left(-\tfrac{10}{3}; \tfrac{10}{3}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(4x^2 - a^2) = \ln(2x + a) \Rightarrow 4x^2 - a^2 = 2x + a \Rightarrow 4x^2 - 2x - a^2 - a = 0$$ $$\Rightarrow (2x - a)(2x + a) - (2x + a) = 0 \Rightarrow (2x + a)(2x - a - 1) = 0$$ $$\Rightarrow \left[ \begin{aligned} &2x + a = 0 \\ &2x - a - 1 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = -\frac{a}{2} \\ &x = \frac{a + 1}{2} \end{aligned} \right.$$

Проверим условия для $x = -\frac{a}{2}$: $$\begin{cases} 2\cdot\left(-\tfrac{a}{2}\right) + a > 0 \\ 3\cdot\left(-\tfrac{a}{2}\right) - 5 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 > 0 \\ -\frac{3a}{2} - 5 \geq 0 \end{cases}$$ Первое неравенство не выполняется, следовательно, $x = -\frac{a}{2}$ не является корнем.

Проверим условия для $x = \frac{a + 1}{2}$: $$\begin{cases} 2\cdot\left(\tfrac{a + 1}{2}\right) + a > 0 \\ 3\cdot\left(\tfrac{a + 1}{2}\right) - 5 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + 1 + a > 0 \\ \tfrac{3a + 3}{2} - 5 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a > -\tfrac{1}{2} \\ a \geq \tfrac{7}{3} \end{cases} \Rightarrow a \geq \tfrac{7}{3}$$

Проверим совпадение корней: $$\frac{a + 1}{2} = \frac{5}{3} \Rightarrow a = \frac{7}{3}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень при: $$a \in \left(-\frac{10}{3}; \frac{7}{3}\right] \cup \left[\frac{10}{3}; +\infty\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{10}{3}; \frac{7}{3}\right] \cup \left[\frac{10}{3}; +\infty\right)$.