Тип 19 № 10979

Сделаем замену $x^2 = t\geq 0$

При $t = 0$ – 1 решение $x$.

При $t > 0$ – 2 решения $x$.

Получаем уравнение: $$|a - 2|t^2 -2at + |a - 12| = 0$$

Если данное уравнение будет иметь хотя бы одно положительное решение, то исходное уравнение будет иметь хотя бы 2 решения. Запишем необходимые условия для данной ситуации:

$$\begin{cases} D\geq 0 (1)\\ t_0 > 0 (2)\\ \frac{c}{a} \geq 0 (3) \text{ произведение корней неотрицательно} \end{cases}$$

Решим данные неравенства по отдельности:

$$4a^2 - 4|(a - 2)(a - 12)| \geq 0 \Leftrightarrow a ^2 \geq |(a - 2)(a - 12)|$$ Так как обе части неравенства неотрицательны, возведём их в квадрат: $$a^4 \geq (a - 2)^2(a - 12)^2 \Leftrightarrow (a^2 - (a - 2)(a - 12))(a^2 + (a - 2)(a - 12)) \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (14a - 24)(2a^2 - 14a + 24) \geq 0$$ $$\Leftrightarrow (7a - 12)(a^2 - 7a + 12) \geq 0 \Leftrightarrow(7a - 12)(a - 4)(a - 3) \geq 0$$

Воспользуемся методом интервалов:

$$a \in \left[\tfrac{12}{7}; 3\right] \cup [4; + \infty)$$

$$\frac{2a}{2|a - 2|} > 0 \Leftrightarrow a > 0$$

$$\frac{|a - 12|}{|a - 2|} \geq 0 \Leftrightarrow a \in R$$

При подстановке в уравнение $a = 2$ оно примет вид: $$t = \frac{|-10|}{4} = 2,5$$ что нам также подходит, поэтому мы берём это значение параметра в ответ.

Пересекая $(1), (2), (3)$, получаем:

$$a \in \left[\tfrac{12}{7}; 3\right] \cup [4; + \infty)$$

Ответ: $\left[\tfrac{12}{7}; 3\right] \cup [4; + \infty)$