Получили квадратное уравнение:
x2−(2a+1)x+2a2+2a−2=0
Для того чтобы исходное уравнение имело ровно 1 корень, необходимо чтобы квадратное уравнение x2−(2a+1)x+2a2+2a−2=0 имело один корень ⇒D=0.
D=(2a+1)2−4⋅1⋅(2a2+2a−2)=04a2+4a+1−8a2−8a+8=0−4a2−4a+9=04a2+4a−9=0a=8−4±16+144=8−4±160=8−4±410=2−1±10
D>0приa∈(2−1−10;2−1+10)
Найдём значения параметра a при которых корни числителя совпадают с корнями знаменателя.
Для этого подставим значения x=−2,x=a в числитель:
4+4a+2+2a2+2a−2=0⇔a2+3a+2=0⇔a=−1илиa=−2
При a=−1иa=−2 квадратное уравнение имеет 2 корня (D > 0). Один из корней x=−2, что нам не подходит. В итоге остается 1 корень, значит, данные значения параметра a мы берём в ответ.
Подставим x=a:
a2−2a2−a+2a2+2a−2=0⇔a2+a−2=0⇔a=1илиa=−2
При a=1иa=−2 квадратное уравнение имеет 2 корня (D > 0). Один из корней x=a, что нам не подходит. В итоге остается 1 корень, значит, данные значения параметра a мы берём в ответ.
Таким образом, уравнение имеет ровно один корень при:
a∈{−2,−1,1}∪{2−1±10}