Тип 19 № 10902

$$\left(*\right) \begin{cases} 3a - x > 0 \\ 2x + 2a - 5 > 0\\ x - a > 0 \\ 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$$

$$\ln(3a - x)\ln(2x + 2a - 5) - \ln(3a - x)\ln(x - a) = 0$$ $$\ln(3a - x)(\ln(2x + 2a - 5) - \ln(x - a)) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\ln(3a - x) = 0 \\ &\ln(2x + 2a - 5) - \ln(x - a) = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &3a - x = 1 \\ &2x + 2a - 5 = x - a \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = 3a - 1 \\ &x = 5 - 3a \end{aligned} \right.$$

Найдём при каких значениях параметра $a$ найденные корни удовлетворяют условию $\left(*\right)$, т.е являются корнями данного уравнения. Для этого подставим их в $\left(*\right)$

$$\begin{cases} 3a - (3a - 1) > 0 \\ 2(3a - 1) + 2a - 5 > 0\\ (3a - 1) - a > 0\\ 0 \leq 3a - 1 \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 > 0 \\ 8a - 7 > 0\\ 2a - 1 > 0\\ \tfrac{1}{3} \leq a \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a > \tfrac{7}{8}\\ a > \tfrac{1}{2}\\ \tfrac{1}{3} \leq a \leq 1 \end{cases}$$

При $a \in \left(\frac{7}{8}; 1\right]$, $x = 3a - 1$ – является корнем.

Подставим второй корень:

$$\begin{cases} 3a - (5 - 3a) > 0 \\ 2(5 - 3a) + 2a - 5 > 0\\ (5 - 3a) - a > 0\\ 0 \leq 5 - 3a \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6a - 5 > 0 \\ -4a + 5 > 0\\ 5 - 4a > 0\\ 5 \geq 3a \geq 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a > \tfrac{5}{6}\\ a < \tfrac{5}{4}\\ \tfrac{5}{3} \geq a \geq 1 \end{cases}$$

При $a \in \left[1; \frac{5}{4}\right)$, $x = 5 - 3a$ – является корнем.

Найдем значения $a$, при которых корни совпадают.

$$3a - 1 = 5 - 3a \Leftrightarrow a = 1$$

В итоге, исходное уравнение имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 2]$ при $a \in \left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$

Ответ: $a \in \left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$