Тип 19 № 10869

$$(*) \begin{cases} x - a \geq 0 \\ 0 \leq x \leq \pi \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{x - a}(\sin x - \cos x) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{x - a} = 0 \\ &\sin x = \cos x \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{x - a} = 0 \Rightarrow x = a$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = a$ является корнем на отрезке $[0; \pi]$, для этого подставим его в $(*)$: $$0 \leq a \leq \pi$$

Второе уравнение: $$\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

На отрезке $[0; \pi]$ это уравнение имеет единственное решение: $$x = \frac{\pi}{4}$$

Проверим условия для $x = \frac{\pi}{4}$: $$\frac{\pi}{4} - a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq \frac{\pi}{4}$$

Проверим совпадение корней: $$a = \frac{\pi}{4}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; \pi]$ при: $$a \in (-\infty; 0) \cup \left[\frac{\pi}{4}; \pi\right]$$

Ответ: $(-\infty; 0) \cup \left[\frac{\pi}{4}; \pi\right]$