Тип 19 № 10866

$$(*) x^2 - 4ax + 5a \geq 0$$

Преобразуем уравнение: $$|x^2 - a^2| = |x - a|\cdot\sqrt{x^2 - 4ax + 5a}$$

Разложим левую часть на множители: $$|x - a|\cdot|x + a| = |x - a|\cdot\sqrt{x^2 - 4ax + 5a}$$

Перенесем все в одну сторону: $$|x - a|\left(|x + a| - \sqrt{x^2 - 4ax + 5a}\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &|x - a| = 0 \\ &|x + a| = \sqrt{x^2 - 4ax + 5a} \end{aligned} \right.$$

1. Первое уравнение: $$|x - a| = 0 \Rightarrow x = a$$

Проверим условия для $x = a$: $$a^2 - 4a^2 + 5a \geq 0 \Rightarrow -3a^2 + 5a \geq 0 \Rightarrow 3a^2 - 5a \leq 0 \Rightarrow a \in \left[0; \frac{5}{3}\right]$$

1. Второе уравнение: $$|x + a| = \sqrt{x^2 - 4ax + 5a}$$

Возведем обе части в квадрат: $$(x + a)^2 = x^2 - 4ax + 5a \Rightarrow x^2 + 2ax + a^2 = x^2 - 4ax + 5a \Rightarrow 6ax + a^2 - 5a = 0$$ $$a(6x + a - 5) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &a = 0 \\ &x = \frac{5 - a}{6} \end{aligned} \right.$$

Проверим условия для $a = 0$: $$x^2 \geq 0 \text{ выполняется для всех } x \in \mathbb{R}$$

Проверим условия для $x = \frac{5 - a}{6}$: $$\left(\frac{5 - a}{6}\right)^2 - 4a\left(\frac{5 - a}{6}\right) + 5a \geq 0$$ $$\frac{(5 - a)^2}{36} - \frac{20a - 4a^2}{6} + 5a \geq 0$$ $$\frac{25 - 10a + a^2}{36} - \frac{20a - 4a^2}{6} + 5a \geq 0$$ $$\frac{25 - 10a + a^2}{36} - \frac{120a - 24a^2}{36} + \frac{180a}{36} \geq 0$$ $$25 - 10a + a^2 - 120a + 24a^2 + 180a \geq 0$$ $$25a^2 + 50a + 25 \geq 0 \Rightarrow (5a + 5)^2 \geq 0$$ Это выполняется для всех $a \in \mathbb{R}$.

Проверим совпадение корней: $$a = \frac{5 - a}{6} \Rightarrow 6a = 5 - a \Rightarrow 7a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{7}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно два различных корня при:

$$a \in \left(0; \frac{5}{7}\right) \cup \left(\frac{5}{7}; \frac{5}{3}\right]$$

Ответ: $\left(0; \frac{5}{7}\right) \cup \left(\frac{5}{7}; \frac{5}{3}\right]$