Задание №8 КИМ ЕГЭ 2027 года: преобразование выражений

Задание на преобразование выражений иногда кажется непредсказуемым. В одном варианте встречается дробь, в другом — корни, в третьем — функция с необычным аргументом, а в четвёртом — несколько логарифмов.

Но за внешним разнообразием скрывается одна и та же задача: увидеть подходящее свойство и применить его в нужном месте.

Обычно в задании требуется найти значение выражения. При этом прямые вычисления могут быть слишком громоздкими или вообще невозможными. Сначала выражение нужно упростить:

• раскрыть или, наоборот, свернуть скобки;
• разложить многочлен на множители;
• привести дроби к общему знаменателю;
• сократить одинаковые множители;
• применить свойства степеней и корней;
• правильно подставить выражение в функцию;
• воспользоваться свойствами логарифмов.

Главная идея задания: не пытаться сразу вычислить всё выражение. Сначала найди конструкцию, которая должна сократиться, превратиться в степень или дать известное число.

В этой статье разберём основные типы заданий:

• преобразование алгебраических выражений;
• действия с алгебраическими дробями;
• свойства степеней;
• преобразования корней;
• вычисление выражений с функциями;
• свойства логарифмов;
• смешанные задачи, в которых нужно применить несколько правил подряд.

С чего начинать преобразование выражения

Перед вычислениями полезно задать себе несколько вопросов.

1. Есть ли в выражении одинаковые основания степеней?
2. Можно ли разложить многочлен на множители?
3. Не скрывается ли формула сокращённого умножения?
4. Можно ли привести дроби к общему знаменателю?
5. Есть ли сопряжённые выражения с корнями?
6. Можно ли представить корни в виде дробных степеней?
7. Как именно нужно подставить аргумент в заданную функцию?
8. Можно ли объединить логарифмы?
9. Не являются ли основания или аргументы взаимно обратными числами?
10. Есть ли ограничения, при которых выражение определено?

Необязательно применять все правила. Обычно в конкретном задании есть одна основная идея и несколько технических действий.

Чем раньше замечена основная конструкция, тем короче становится решение.

Порядок действий

Даже при сложных преобразованиях действует обычный порядок выполнения действий:

1. действия внутри скобок;
2. степени, корни и значения функций;
3. умножение и деление;
4. сложение и вычитание.

Но преобразовывать выражение можно не только слева направо. Иногда выгоднее сначала разложить множитель, иногда — объединить корни, а иногда — заменить целое выражение одной буквой.

Например, выражение

$$(4a^2-9)\left(\frac{1}{2a-3}-\frac{1}{2a+3}\right)$$

невыгодно раскрывать прямым умножением. Гораздо полезнее заметить, что

$$4a^2-9=(2a-3)(2a+3).$$

Именно эти множители затем сократятся со знаменателем дроби.

Допустимые преобразования

Преобразование должно сохранять значение исходного выражения при всех допустимых значениях переменных.

Важно помнить об ограничениях:

• знаменатель дроби не может равняться нулю;
• под квадратным корнем должно находиться неотрицательное выражение;
• аргумент логарифма должен быть положительным;
• основание логарифма должно быть положительным и не равным единице;
• при использовании дробных степеней нужно учитывать условия на основание.

Например, в дроби

$$\frac{x^2-9}{x-3}$$

знаменатель не должен обращаться в ноль:

$$x\ne3.$$

Разложим числитель:

$$x^2-9=(x-3)(x+3).$$

При $x\ne3$ можно сократить общий множитель:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

Но это не означает, что исходное выражение стало определено при $x=3$. Ограничение сохраняется.

Сокращение упрощает вид выражения, но не отменяет ограничения исходной дроби.

Что значит «сократить дробь»

Сокращать можно только одинаковые множители числителя и знаменателя.

Например:

$$\frac{(x-2)(x+5)}{x-2}=x+5,$$

если

$$x\ne2.$$

Но в дроби

$$\frac{x+2}{x}$$

нельзя «сократить $x$», потому что в числителе $x$ является слагаемым, а не множителем.

Неверно:

$$\frac{x+2}{x}=2.$$

Правильно разделить каждое слагаемое числителя на знаменатель:

$$\frac{x+2}{x} = \frac{x}{x}+\frac{2}{x} = 1+\frac{2}{x}.$$

Перед сокращением числитель и знаменатель нужно представить в виде произведений.

Формулы сокращённого умножения

Во многих задачах выражение построено так, чтобы после применения формулы сокращённого умножения появились одинаковые множители.

Основные формулы:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,$$

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3,$$

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),$$

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Особенно часто встречается разность квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Эта формула работает и в обратную сторону:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

Например:

$$(\sqrt{13}-\sqrt7)(\sqrt{13}+\sqrt7)$$

можно вычислить без раскрытия скобок:

$$(\sqrt{13})^2-(\sqrt7)^2=13-7=6.$$

Квадрат суммы и квадрат разности

При раскрытии квадрата скобки важно не забывать удвоенное произведение.

Неверно:

$$(a+b)^2=a^2+b^2.$$

Правильно:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$

Аналогично:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

Знак перед средним слагаемым совпадает со знаком внутри исходной скобки.

Например:

$$(\sqrt{13}+\sqrt7)^2 = 13+2\sqrt{13}\sqrt7+7.$$

Так как

$$\sqrt{13}\sqrt7=\sqrt{91},$$

получаем:

$$(\sqrt{13}+\sqrt7)^2=20+2\sqrt{91}.$$

Разбор задачи с алгебраической дробью

Задача. Найдите значение выражения

$$(4a^2-9)\left(\frac{1}{2a-3}-\frac{1}{2a+3}\right).$$

Сначала заметим разность квадратов:

$$4a^2-9=(2a)^2-3^2.$$

Следовательно:

$$4a^2-9=(2a-3)(2a+3).$$

Теперь приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{1}{2a-3}-\frac{1}{2a+3} = \frac{2a+3-(2a-3)}{(2a-3)(2a+3)}.$$

Аккуратно раскроем скобки в числителе:

$$2a+3-(2a-3)=2a+3-2a+3=6.$$

Поэтому:

$$\frac{1}{2a-3}-\frac{1}{2a+3} = \frac{6}{(2a-3)(2a+3)}.$$

Возвращаемся к исходному выражению:

$$(2a-3)(2a+3)\cdot \frac{6}{(2a-3)(2a+3)} = 6.$$

Ответ: $\boxed{6}$

Исходное выражение определено при условиях:

$$2a-3\ne0,$$

$$2a+3\ne0.$$

То есть:

$$a\ne\frac32,\qquad a\ne-\frac32.$$

Почему в дробях важно раскрывать минус перед скобками

Рассмотрим выражение:

$$(x+4)-(x-4).$$

Минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого:

$$(x+4)-(x-4)=x+4-x+4=8.$$

Неверный вариант:

$$x+4-x-4=0.$$

Именно такая ошибка часто встречается при приведении дробей к общему знаменателю.

Например:

$$\frac1{x-2}-\frac1{x+2} = \frac{x+2-(x-2)}{(x-2)(x+2)}.$$

В числителе:

$$x+2-(x-2)=x+2-x+2=4.$$

Поэтому:

$$\frac1{x-2}-\frac1{x+2} = \frac4{x^2-4}.$$

Универсальный алгоритм работы с алгебраическими дробями

1. Выпиши ограничения на знаменатели.
2. Разложи числители и знаменатели на множители.
3. Если дроби складываются или вычитаются, найди общий знаменатель.
4. Помни о смене знаков после минуса перед скобками.
5. Сокращай только одинаковые множители.
6. Не сокращай отдельные слагаемые.
7. Подставляй числовые значения только после упрощения, если это делает вычисления короче.

Пример с предварительным сокращением

Задача. Найдите значение выражения

$$\frac{x^2-25}{x-5}$$

при $x=12$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$$x^2-25=(x-5)(x+5).$$

Тогда при $x\ne5$:

$$\frac{x^2-25}{x-5} = \frac{(x-5)(x+5)}{x-5} = x+5.$$

Подставляем $x=12$:

$$12+5=17.$$

Ответ: $\boxed{17}$

Если сразу подставить число в исходное выражение, тоже получится правильный ответ:

$$\frac{12^2-25}{12-5} = \frac{144-25}{7} = \frac{119}{7} = 17.$$

Но предварительное преобразование обычно делает решение проще.

Свойства степеней

Для положительного основания $a$ и произвольных допустимых показателей выполняются основные свойства:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},$$

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},$$

$$(a^m)^n=a^{mn},$$

$$(ab)^n=a^nb^n,$$

$$\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n},$$

$$a^0=1,\qquad a\ne0,$$

$$a^{-n}=\frac1{a^n}.$$

Важно понимать смысл каждого действия.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:

$$2^3\cdot2^5=2^{3+5}=2^8.$$

При делении показатели вычитаются:

$$\frac{7^9}{7^4}=7^{9-4}=7^5.$$

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$$(3^4)^2=3^{4\cdot2}=3^8.$$

Отрицательная степень

Отрицательный показатель означает переход к обратному числу:

$$a^{-n}=\frac1{a^n}.$$

Например:

$$2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18.$$

Аналогично:

$$\frac1{5^4}=5^{-4}.$$

Для дроби:

$$\left(\frac23\right)^{-2} = \left(\frac32\right)^2 = \frac94.$$

Отрицательная степень не делает само число отрицательным. Она переворачивает основание.

Нулевая степень

Для любого ненулевого числа:

$$a^0=1.$$

Например:

$$7^0=1,$$

$$(-3)^0=1,$$

$$\left(\frac25\right)^0=1.$$

Но выражение $0^0$ в школьной математике не определено.

Дробная степень

Корень можно представить в виде степени с дробным показателем:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac1n}.$$

Более общее правило:

$$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}.$$

Например:

$$\sqrt a=a^{\frac12},$$

$$\sqrt[3]{a}=a^{\frac13},$$

$$\sqrt[5]{a^2}=a^{\frac25}.$$

Для выражений с чётными корнями обычно требуется неотрицательность подкоренного выражения. Если в условии дано $a>0$, преобразования с дробными степенями можно выполнять особенно уверенно.

Разбор задачи со степенями и корнями

Задача. Найдите значение выражения

$$\frac{\sqrt{81\sqrt[7]{b}}}{\sqrt[14]{b}}$$

при $b>0$.

Представим корни в виде степеней:

$$\sqrt[7]{b}=b^{\frac17}.$$

Тогда числитель имеет вид:

$$\sqrt{81b^{\frac17}} = \left(81b^{\frac17}\right)^{\frac12}.$$

Используем свойство степени произведения:

$$\left(81b^{\frac17}\right)^{\frac12} = 81^{\frac12}\cdot b^{\frac1{14}}.$$

Так как

$$81^{\frac12}=9,$$

получаем:

$$\sqrt{81\sqrt[7]{b}}=9b^{\frac1{14}}.$$

Знаменатель:

$$\sqrt[14]{b}=b^{\frac1{14}}.$$

Следовательно:

$$\frac{9b^{\frac1{14}}}{b^{\frac1{14}}}=9.$$

Ответ: $\boxed{9}$

Условие $b>0$ гарантирует, что корни существуют и знаменатель не равен нулю.

Как упрощать степени с одинаковыми основаниями

Задача. Упростите выражение

$$\frac{3^{x+7}\cdot3^{2-x}}{3^4}.$$

Сначала объединим степени в числителе:

$$3^{x+7}\cdot3^{2-x} = 3^{x+7+2-x} = 3^9.$$

Теперь делим степени с одинаковым основанием:

$$\frac{3^9}{3^4}=3^{9-4}=3^5.$$

$$3^5=243.$$

Ответ: $\boxed{243}$

Обрати внимание: переменная $x$ исчезла, потому что показатели $x$ и $-x$ уничтожили друг друга.

Основные свойства корней

Для неотрицательных чисел $a$ и $b$ выполняются свойства:

$$\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b,$$

$$\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b},\qquad b>0.$$

Для корня степени $n$:

$$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]a\cdot\sqrt[n]b,$$

$$\sqrt[n]{\frac ab} = \frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b},$$

если все выражения определены и знаменатель не равен нулю.

Очень важное свойство квадратного корня:

$$\sqrt{a^2}=|a|.$$

Не всегда можно писать:

$$\sqrt{a^2}=a.$$

Например, если $a=-5$, то:

$$\sqrt{a^2}=\sqrt{25}=5,$$

но

$$a=-5.$$

Поэтому правильная запись:

$$\sqrt{a^2}=|a|.$$

Если дополнительно известно, что $a>0$, тогда:

$$|a|=a.$$

Что нельзя делать с корнями

Нельзя распределять квадратный корень по сумме или разности.

В общем случае:

$$\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b.$$

Например:

$$\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5,$$

а

$$\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7.$$

Также неверно:

$$\sqrt{a-b}=\sqrt a-\sqrt b.$$

Корень можно разделять по произведению или частному, но не по сумме и разности.

Сопряжённые выражения

Выражения вида

$$a-b$$

и

$$a+b$$

называются сопряжёнными.

Их произведение равно разности квадратов:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

Особенно полезны сопряжённые выражения с корнями:

$$(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b.$$

Иррациональные части при умножении уничтожаются.

Разбор задачи с сопряжёнными выражениями

Задача. Найдите значение выражения

$$(\sqrt{13}-\sqrt7)(\sqrt{13}+\sqrt7).$$

Используем формулу:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2.$$

Здесь:

$$a=\sqrt{13},\qquad b=\sqrt7.$$

Следовательно:

$$(\sqrt{13}-\sqrt7)(\sqrt{13}+\sqrt7) = (\sqrt{13})^2-(\sqrt7)^2.$$

$$=13-7=6.$$

Ответ: $\boxed{6}$

Раскрывать скобки по обычному правилу можно, но это длиннее:

$$13+\sqrt{91}-\sqrt{91}-7=6.$$

Разбор задачи с квадратом суммы корней

Задача. Найдите значение выражения

$$\frac{(\sqrt{13}+\sqrt7)^2}{10+\sqrt{91}}.$$

Раскроем квадрат суммы:

$$(\sqrt{13}+\sqrt7)^2 = 13+2\sqrt{13}\sqrt7+7.$$

$$=20+2\sqrt{91}.$$

Вынесем $2$ за скобки:

$$20+2\sqrt{91}=2(10+\sqrt{91}).$$

Тогда исходная дробь равна:

$$\frac{2(10+\sqrt{91})}{10+\sqrt{91}}=2.$$

Ответ: $\boxed{2}$

Основная идея задачи — после раскрытия квадрата увидеть в числителе выражение, пропорциональное знаменателю.

Корни одной и той же степени

Если несколько корней имеют одинаковый показатель, их можно объединять.

Например:

$$\sqrt[5]a\cdot\sqrt[5]b=\sqrt[5]{ab}.$$

Для частного:

$$\frac{\sqrt[5]a}{\sqrt[5]b} = \sqrt[5]{\frac ab},$$

если $b\ne0$.

Разбор задачи с корнями пятой степени

Задача. Найдите значение выражения

$$\frac{\sqrt[5]{10}\cdot\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]5}.$$

У всех корней одинаковый показатель, поэтому объединим их:

$$\frac{\sqrt[5]{10}\cdot\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]5} = \sqrt[5]{\frac{10\cdot16}{5}}.$$

Вычисляем подкоренное выражение:

$$\frac{10\cdot16}{5}=2\cdot16=32.$$

Следовательно:

$$\sqrt[5]{32}=2,$$

потому что

$$2^5=32.$$

Ответ: $\boxed{2}$

Чётные и нечётные корни

Квадратный корень определён только для неотрицательного подкоренного выражения:

$$\sqrt a$$

существует в действительных числах при

$$a\geqslant0.$$

Корень нечётной степени определён при любом действительном значении:

$$\sqrt[3]{-8}=-2,$$

$$\sqrt[5]{-32}=-2.$$

Для нечётного корня выполняется:

$$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]a.$$

Это свойство особенно важно в задачах с функциями.

Внесение и вынесение множителя из-под корня

Рассмотрим:

$$\sqrt{72}.$$

Разложим число $72$ на произведение, в котором есть полный квадрат:

$$72=36\cdot2.$$

Тогда:

$$\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot2} = \sqrt{36}\sqrt2 = 6\sqrt2.$$

Обратно можно внести положительный множитель под корень:

$$3\sqrt5=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}.$$

Если множитель может быть отрицательным, нужно учитывать его знак.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Если в знаменателе находится один квадратный корень, числитель и знаменатель можно умножить на этот корень.

Например:

$$\frac3{\sqrt5} = \frac{3\sqrt5}{\sqrt5\sqrt5} = \frac{3\sqrt5}{5}.$$

Если знаменатель имеет вид

$$\sqrt a+\sqrt b,$$

нужно умножить дробь на сопряжённое выражение:

$$\sqrt a-\sqrt b.$$

Например:

$$\frac1{\sqrt5+\sqrt2} \cdot \frac{\sqrt5-\sqrt2}{\sqrt5-\sqrt2} = \frac{\sqrt5-\sqrt2}{5-2}.$$

Следовательно:

$$\frac1{\sqrt5+\sqrt2} = \frac{\sqrt5-\sqrt2}{3}.$$

Что такое функция

Функцию можно представить как правило, которое получает аргумент и выдаёт результат.

Если

$$f(x)=2x+3,$$

то для любого допустимого выражения вместо каждого $x$ нужно подставить это выражение.

Например:

$$f(5)=2\cdot5+3=13.$$

Если нужно найти $f(x-4)$, подставляем вместо $x$ всё выражение $x-4$:

$$f(x-4)=2(x-4)+3.$$

Раскрываем скобки:

$$f(x-4)=2x-8+3=2x-5.$$

Аргумент функции нужно подставлять целиком и обязательно брать в скобки.

Почему нельзя раскрывать функцию по слагаемым

В общем случае неверно:

$$f(a+b)=f(a)+f(b).$$

Например, пусть:

$$f(x)=x^2.$$

Тогда:

$$f(a+b)=(a+b)^2,$$

а

$$f(a)+f(b)=a^2+b^2.$$

Эти выражения обычно не равны, потому что:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$

Равенство $f(a+b)=f(a)+f(b)$ выполняется только для специальных функций и не является общим правилом.

Разбор задачи с линейной функцией

Задача. Найдите значение выражения

$$2p(x-7)-p(2x),$$

если

$$p(x)=x-3.$$

Сначала отдельно найдём каждое значение функции.

Вместо аргумента $x$ подставляем $x-7$:

$$p(x-7)=(x-7)-3=x-10.$$

Теперь подставляем $2x$:

$$p(2x)=2x-3.$$

Возвращаемся к исходному выражению:

$$2p(x-7)-p(2x) = 2(x-10)-(2x-3).$$

Раскрываем скобки:

$$2x-20-2x+3=-17.$$

Ответ: $\boxed{-17}$

Переменная $x$ исчезла после приведения подобных слагаемых. Значение выражения оказалось постоянным.

Разбор задачи с показательной функцией

Задача. Найдите значение выражения

$$\frac{g(x-9)}{g(x-11)},$$

если

$$g(x)=8^x.$$

Подставляем аргументы в функцию:

$$g(x-9)=8^{x-9},$$

$$g(x-11)=8^{x-11}.$$

Тогда:

$$\frac{g(x-9)}{g(x-11)} = \frac{8^{x-9}}{8^{x-11}}.$$

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются:

$$\frac{8^{x-9}}{8^{x-11}} = 8^{(x-9)-(x-11)}.$$

Аккуратно раскрываем скобки:

$$(x-9)-(x-11)=x-9-x+11=2.$$

Следовательно:

$$8^2=64.$$

Ответ: $\boxed{64}$

Функции с корнями нечётной степени

В задачах с кубическими корнями полезно свойство:

$$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]a.$$

Благодаря ему противоположные слагаемые могут уничтожиться.

Разбор задачи с кубическими корнями

Задача. Найдите

$$h(5+x)+h(5-x),$$

если

$$h(x)=\sqrt[3]x+\sqrt[3]{x-10}.$$

Сначала найдём $h(5+x)$:

$$h(5+x) = \sqrt[3]{5+x} + \sqrt[3]{5+x-10}.$$

$$h(5+x) = \sqrt[3]{5+x} + \sqrt[3]{x-5}.$$

Теперь найдём $h(5-x)$:

$$h(5-x) = \sqrt[3]{5-x} + \sqrt[3]{5-x-10}.$$

$$h(5-x) = \sqrt[3]{5-x} + \sqrt[3]{-x-5}.$$

Используем нечётность кубического корня:

$$\sqrt[3]{5-x}=-\sqrt[3]{x-5},$$

$$\sqrt[3]{-x-5}=-\sqrt[3]{x+5}.$$

Кроме того:

$$\sqrt[3]{5+x}=\sqrt[3]{x+5}.$$

Поэтому:

$$h(5+x)+h(5-x)$$

$$= \sqrt[3]{x+5} + \sqrt[3]{x-5} - \sqrt[3]{x-5} - \sqrt[3]{x+5}.$$

Все слагаемые сокращаются:

$$h(5+x)+h(5-x)=0.$$

Ответ: $\boxed{0}$

Чётные и нечётные функции

Иногда структуру выражения можно увидеть без полной подстановки.

Функция называется чётной, если:

$$f(-x)=f(x).$$

Для чётной функции:

$$f(x)-f(-x)=0.$$

Функция называется нечётной, если:

$$f(-x)=-f(x).$$

Для нечётной функции:

$$f(x)+f(-x)=0.$$

Например, функция

$$f(x)=x^3$$

нечётная, потому что:

$$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x).$$

Функция

$$f(x)=x^2$$

чётная:

$$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).$$

В задачах на функции симметрия аргументов часто помогает получить ответ без громоздких вычислений.

Универсальный алгоритм задачи с функцией

1. Найди формулу функции.
2. Определи, какое выражение является новым аргументом.
3. Вместо каждого $x$ в формуле функции подставь весь аргумент в скобках.
4. Отдельно вычисли каждое значение функции.
5. Только после этого выполняй действия между функциями.
6. Раскрой скобки и приведи подобные слагаемые.
7. Проверь, не сокращается ли переменная полностью.

Что такое логарифм

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ называется показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$:

$$\log_a b=c \iff a^c=b.$$

Например:

$$\log_2 8=3,$$

потому что:

$$2^3=8.$$

Также:

$$\log_5 1=0,$$

потому что:

$$5^0=1.$$

И:

$$\log_3\frac13=-1,$$

потому что:

$$3^{-1}=\frac13.$$

Ограничения для логарифма

Выражение

$$\log_a b$$

существует при условиях:

$$a>0,$$

$$a\ne1,$$

$$b>0.$$

То есть основание должно быть положительным и не равным единице, а аргумент — строго положительным.

Например:

$$\log_2(-5)$$

не определён в действительных числах.

Также не существует:

$$\log_1 7.$$

Основные свойства логарифмов

При допустимых значениях переменных выполняются свойства:

$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,$$

$$\log_a\left(\frac xy\right) = \log_a x-\log_a y,$$

$$\log_a(x^k)=k\log_a x,$$

$$\log_a a=1,$$

$$\log_a1=0.$$

Формула перехода к новому основанию:

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.$$

В частности:

$$\frac{\log_c b}{\log_c a}=\log_a b.$$

Также полезно свойство взаимно обратных логарифмов:

$$\log_a b\cdot\log_b a=1.$$

И более общее цепочное свойство:

$$\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c.$$

Что нельзя делать с логарифмами

Нельзя раскладывать логарифм суммы:

$$\log_a(x+y)\ne\log_a x+\log_a y.$$

Нельзя раскладывать логарифм разности:

$$\log_a(x-y)\ne\log_a x-\log_a y.$$

Свойства работают только для произведения, частного и степени.

Также нельзя сокращать логарифмы с разными основаниями без применения специальных формул.

Например, из выражения

$$\frac{\log_2 5}{\log_3 5}$$

нельзя просто «сократить пятёрки».

Нужно применить формулу перехода к новому основанию.

Разбор задачи с логарифмом произведения

Задача. Найдите значение

$$\log_a(a^2b^3),$$

если

$$\log_a b=-2.$$

Разложим логарифм произведения:

$$\log_a(a^2b^3) = \log_a a^2+\log_a b^3.$$

Вынесем показатели степеней:

$$\log_a a^2=2\log_a a,$$

$$\log_a b^3=3\log_a b.$$

Так как:

$$\log_a a=1,$$

получаем:

$$\log_a(a^2b^3) = 2+3\log_a b.$$

По условию:

$$\log_a b=-2.$$

Следовательно:

$$2+3\cdot(-2)=2-6=-4.$$

Ответ: $\boxed{-4}$

Разбор задачи с формулой перехода

Задача. Найдите значение выражения

$$\frac{\log_3 5}{\log_3 7}+\log_7 0{,}2. >$$

Применим формулу перехода к новому основанию:

$$\frac{\log_3 5}{\log_3 7}=\log_7 5.$$

Тогда исходное выражение принимает вид:

$$\log_7 5+\log_7 0{,}2.$$

Объединяем сумму логарифмов:

$$\log_7 5+\log_7 0{,}2 = \log_7(5\cdot0{,}2).$$

Так как:

$$5\cdot0{,}2=1,$$

получаем:

$$\log_7 1=0.$$

Ответ: $\boxed{0}$

Разбор задачи с вложенными логарифмами

Задача. Найдите значение

$$\log_4(\log_5 25).$$

Сначала вычисляем внутренний логарифм:

$$\log_5 25=2,$$

потому что:

$$5^2=25.$$

Теперь выражение имеет вид:

$$\log_4 2.$$

Чтобы получить $2$ из основания $4$, нужно возвести его в степень $\dfrac12$:

$$4^{\frac12}=2.$$

Следовательно:

$$\log_4 2=\frac12.$$

Ответ: $\boxed{\frac12}$

В десятичной форме:

$$\frac12=0{,}5.$$

Как преобразовать единицу в логарифм

Для любого допустимого основания:

$$1=\log_a a.$$

Поэтому выражение

$$1-\log_a b$$

можно преобразовать:

$$1-\log_a b = \log_a a-\log_a b.$$

Используем разность логарифмов:

$$1-\log_a b = \log_a\left(\frac ab\right).$$

Это преобразование часто полностью раскрывает структуру задачи.

Разбор произведения логарифмических выражений

Задача. Найдите значение

$$(1-\log_2 12)(1-\log_6 12).$$

Преобразуем первый множитель:

$$1-\log_2 12 = \log_2 2-\log_2 12.$$

$$1-\log_2 12 = \log_2\frac{2}{12} = \log_2\frac16.$$

Так как:

$$\frac16=6^{-1},$$

получаем:

$$\log_2\frac16=-\log_2 6.$$

Аналогично:

$$1-\log_6 12 = \log_6\frac{6}{12} = \log_6\frac12 = -\log_6 2.$$

Следовательно:

$$(1-\log_2 12)(1-\log_6 12) = (-\log_2 6)(-\log_6 2).$$

$$=\log_2 6\cdot\log_6 2.$$

Используем свойство взаимно обратных логарифмов:

$$\log_2 6\cdot\log_6 2=1.$$

Ответ: $\boxed{1}$

Взаимно обратные основания

Если аргумент и основание являются взаимно обратными числами, логарифм равен $-1$:

$$\log_a\frac1a=-1,$$

потому что:

$$a^{-1}=\frac1a.$$

Например:

$$\log_{0{,}8}1{,}25=-1,$$

поскольку:

$$0{,}8=\frac45,$$

$$1{,}25=\frac54,$$

а числа $\dfrac45$ и $\dfrac54$ взаимно обратны.

Разбор произведения логарифмов

Задача. Найдите значение

$$\log_{0{,}8}3\cdot\log_3 1{,}25.$$

Используем цепочное свойство:

$$\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c.$$

Получаем:

$$\log_{0{,}8}3\cdot\log_3 1{,}25 = \log_{0{,}8}1{,}25.$$

Запишем числа дробями:

$$0{,}8=\frac45,$$

$$1{,}25=\frac54.$$

Аргумент является величиной, обратной основанию:

$$\frac54=\left(\frac45\right)^{-1}.$$

Следовательно:

$$\log_{\frac45}\frac54=-1.$$

Ответ: $\boxed{-1}$

Связь степени и логарифма

Одно из главных свойств:

$$a^{\log_a b}=b.$$

Например:

$$2^{\log_2 7}=7.$$

Также полезно более общее преобразование:

$$a^{k\log_a b}=b^k.$$

Например:

$$5^{3\log_5 2}=2^3=8.$$

Если основание степени не совпадает с основанием логарифма, его нужно попробовать представить как степень нужного числа.

Разбор задачи со степенью и логарифмом

Задача. Найдите значение выражения

$$441^{\log_{\sqrt{21}}12}.$$

Представим основание степени:

$$441=21^2.$$

Основание логарифма:

$$\sqrt{21}=21^{\frac12}.$$

Преобразуем логарифм:

$$\log_{\sqrt{21}}12 = \log_{21^{\frac12}}12.$$

По формуле перехода к основанию $21$:

$$\log_{21^{\frac12}}12 = \frac{\log_{21}12}{\log_{21}21^{\frac12}}.$$

В знаменателе:

$$\log_{21}21^{\frac12}=\frac12.$$

Поэтому:

$$\log_{\sqrt{21}}12 = 2\log_{21}12.$$

Возвращаемся к исходному выражению:

$$441^{\log_{\sqrt{21}}12} = (21^2)^{2\log_{21}12}.$$

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$$(21^2)^{2\log_{21}12} = 21^{4\log_{21}12}.$$

Используем свойство:

$$21^{\log_{21}12}=12.$$

Следовательно:

$$21^{4\log_{21}12} = 12^4.$$

Вычисляем:

$$12^2=144,$$

$$12^4=144^2=20736.$$

Ответ: $\boxed{20736}$

Разбор степени с произведением логарифмов

Задача. Вычислите

$$\left(3^{\log_2 3}\right)^{\log_3 2}.$$

Используем правило степени степени:

$$\left(3^{\log_2 3}\right)^{\log_3 2} = 3^{\log_2 3\cdot\log_3 2}.$$

Логарифмы взаимно обратны:

$$\log_2 3\cdot\log_3 2=1.$$

Следовательно:

$$3^{\log_2 3\cdot\log_3 2} = 3^1=3.$$

Ответ: $\boxed{3}$

Замена сложного выражения одной буквой

Если один и тот же логарифм, корень или многочлен встречается несколько раз, его удобно обозначить новой переменной.

Например, если в выражении несколько раз встречается

$$\log_5 3,$$

можно ввести обозначение:

$$t=\log_5 3.$$

Тогда:

$$\log_3 5=\frac1t.$$

Также:

$$\log_5\frac53 = \log_5 5-\log_5 3 = 1-t.$$

После такой замены сложное логарифмическое выражение превращается в обычную алгебраическую дробь.

Разбор сложного логарифмического выражения

Задача. Упростите выражение

$$\frac{1-\log_5^3 3}{\left(\log_5 3+\log_3 5+1\right)\log_5\frac53}.$$

Запись

$$\log_5^3 3$$

означает:

$$(\log_5 3)^3.$$

Введём замену:

$$t=\log_5 3.$$

Тогда:

$$\log_3 5=\frac1t,$$

а

$$\log_5\frac53 = \log_5 5-\log_5 3 = 1-t.$$

Исходное выражение принимает вид:

$$\frac{1-t^3} {\left(t+\frac1t+1\right)(1-t)}.$$

Разложим разность кубов:

$$1-t^3=(1-t)(1+t+t^2).$$

Получаем:

$$\frac{(1-t)(1+t+t^2)} {\left(t+\frac1t+1\right)(1-t)}.$$

Сокращаем множитель $1-t$:

$$\frac{1+t+t^2}{t+\frac1t+1}.$$

Приведём знаменатель к общему знаменателю:

$$t+\frac1t+1 = \frac{t^2+1+t}{t}.$$

Тогда:

$$\frac{t^2+t+1}{\frac{t^2+t+1}{t}} = t.$$

Возвращаемся к исходному обозначению:

$$t=\log_5 3.$$

Ответ: $\boxed{\log_5 3}$

Как распознать основную идею задачи

Универсальный алгоритм задания №8

1. Определи тип выражения: дроби, степени, корни, функции или логарифмы.
2. Не подставляй числа слишком рано, если выражение можно сначала сократить.
3. Найди повторяющиеся конструкции.
4. Проверь формулы сокращённого умножения.
5. Разложи числители и знаменатели на множители.
6. Приведи степени или логарифмы к одинаковым основаниям.
7. Для функции подставь аргумент целиком.
8. Если выражение повторяется, обозначь его новой буквой.
9. Выполняй преобразования по одному шагу.
10. После упрощения вычисли числовое значение.
11. Проверь, что не нарушены ограничения исходного выражения.

Главные ошибки при работе с дробями

Сокращать слагаемые

Неверно:

$$\frac{x+5}{x}=5.$$

В числителе находится сумма, а не произведение.

Не раскладывать выражение на множители

В дроби

$$\frac{x^2-25}{x-5}$$

сразу не видно сокращения. Сначала нужно записать:

$$x^2-25=(x-5)(x+5).$$

Терять минус перед скобками

Неверно:

$$a-(b-c)=a-b-c.$$

Правильно:

$$a-(b-c)=a-b+c.$$

Забывать ограничения

После сокращения выражения ограничение на исходный знаменатель сохраняется.

Главные ошибки при работе со степенями

Складывать показатели при сложении степеней

В общем случае:

$$a^m+a^n\ne a^{m+n}.$$

Показатели складываются только при умножении степеней с одинаковыми основаниями:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}.$$

Умножать показатели при умножении степеней

Неверно:

$$a^m\cdot a^n=a^{mn}.$$

Правильно:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}.$$

Показатели перемножаются при возведении степени в степень:

$$(a^m)^n=a^{mn}.$$

Неправильно раскрывать степень суммы

В общем случае:

$$(a+b)^n\ne a^n+b^n.$$

Например:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$$

Считать отрицательную степень отрицательным числом

Неверно:

$$2^{-3}=-8.$$

Правильно:

$$2^{-3}=\frac18.$$

Главные ошибки при работе с корнями

Распределять корень по сумме

Неверно:

$$\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b.$$

Забывать модуль

Правильно:

$$\sqrt{a^2}=|a|.$$

Только при $a\geqslant0$ можно написать:

$$\sqrt{a^2}=a.$$

Путать квадратный и кубический корни

Квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не существует, а кубический существует:

$$\sqrt[3]{-27}=-3.$$

Не замечать сопряжённые выражения

Произведение

$$(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)$$

нужно сразу превращать в:

$$a-b.$$

Главные ошибки в задачах с функциями

Подставлять не весь аргумент

Если:

$$f(x)=x^2-3x,$$

то:

$$f(x+2)=(x+2)^2-3(x+2),$$

а не:

$$x+2^2-3x+2.$$

Забывать скобки

Особенно опасны отрицательные и составные аргументы:

$$f(-x)=(-x)^2-3(-x).$$

Считать, что функция распределяется по сумме

В общем случае:

$$f(a+b)\ne f(a)+f(b).$$

Начинать объединять функции до подстановки

Надёжнее сначала отдельно вычислить:

$$f(x-2),$$

$$f(3x),$$

а затем подставить их в исходное выражение.

Главные ошибки при работе с логарифмами

Разделять логарифм суммы

Неверно:

$$\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y.$$

Неправильно переносить степень

Правильно:

$$\log_a(x^k)=k\log_a x.$$

Забывать значение $\log_a a$

Всегда:

$$\log_a a=1.$$

Забывать значение $\log_a1$

Всегда:

$$\log_a1=0.$$

Не замечать обратные логарифмы

Полезно помнить:

$$\log_a b=\frac1{\log_b a}.$$

Поэтому:

$$\log_a b\cdot\log_b a=1.$$

Забывать ограничения

Аргумент логарифма должен быть строго положительным, а основание — положительным и не равным единице.

Как проверять полученный ответ

После преобразований полезно проверить решение несколькими способами.

Если в выражении была переменная, можно выбрать допустимое числовое значение и сравнить исходное выражение с упрощённым.

Например, если получено:

$$\frac{x^2-9}{x-3}=x+3,$$

возьмём $x=5$.

Исходное выражение:

$$\frac{25-9}{5-3}=\frac{16}{2}=8.$$

Упрощённое:

$$5+3=8.$$

Значения совпали.

Также проверь:

• не стал ли знаменатель равен нулю;
• правильно ли раскрыт минус перед скобками;
• не потерян ли коэффициент;
• не применено ли свойство суммы к корню или логарифму;
• действительно ли основания степеней одинаковы;
• соответствует ли итоговый ответ требуемому формату.

Краткая памятка по алгебраическим преобразованиям

Разность квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Квадрат суммы:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Квадрат разности:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Разность кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Сумма кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Краткая памятка по степеням

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

$$(a^m)^n=a^{mn}$$

$$(ab)^n=a^nb^n$$

$$a^{-n}=\frac1{a^n}$$

$$a^0=1,\qquad a\ne0$$

$$\sqrt[n]a=a^{\frac1n}$$

Краткая памятка по корням

$$\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$$

$$\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$$

$$\sqrt{a^2}=|a|$$

$$(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b$$

$$\sqrt[2k+1]{-a}=-\sqrt[2k+1]a$$

Краткая памятка по функциям

Если

$$f(x)=F(x),$$

то

$$f(g(x))=F(g(x)).$$

Вместо каждого $x$ подставляется весь новый аргумент.

Для чётной функции:

$$f(-x)=f(x).$$

Для нечётной функции:

$$f(-x)=-f(x).$$

Краткая памятка по логарифмам

Определение:

$$\log_a b=c\iff a^c=b$$

Произведение:

$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$$

Частное:

$$\log_a\frac xy=\log_a x-\log_a y$$

Степень:

$$\log_a(x^k)=k\log_a x$$

Переход к новому основанию:

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Обратные логарифмы:

$$\log_a b\cdot\log_b a=1$$

Цепочка:

$$\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$$

Степень с логарифмом:

$$a^{\log_a b}=b$$

Тренировочные задания на алгебраические выражения

Реши задания самостоятельно, а затем сверься с ответами.

1. Найдите значение выражения:

   $$(x^2-25)\left(\frac1{x-5}-\frac1{x+5}\right).$$

2. Упростите выражение:

   $$\frac{a^2-16}{a-4}.$$

3. Найдите значение выражения:

   $$\frac{x^2-9}{x-3}$$

   при $x=7$.

4. Найдите значение:

   $$(3y-2)(3y+2)$$

   при $y=2$.

5. Упростите выражение:

   $$\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4ab}.$$

6. Найдите значение:

   $$(2\sqrt5-\sqrt3)(2\sqrt5+\sqrt3).$$

Ответы:

1. $10$.
2. $a+4$, при $a\ne4$.
3. $10$.
4. $32$.
5. $1$.
6. $17$.

Итог

Задание №8 проверяет не скорость выполнения длинных вычислений, а умение распознавать структуру выражения.

Алгебраические дроби обычно упрощаются после разложения на множители:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Степени с одинаковыми основаниями объединяются с помощью действий над показателями:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},$$

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.$$

Корни можно объединять, представлять в виде дробных степеней и преобразовывать с помощью сопряжённых выражений:

$$(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b.$$

В задачах с функциями главное — подставить весь новый аргумент вместо каждого $x$:

$$f(g(x)).$$

Логарифмические выражения упрощаются с помощью свойств произведения, частного, степени и перехода к новому основанию:

$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,$$

$$\log_a\frac xy=\log_a x-\log_a y,$$

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.$$

Минимальный набор, который нужно знать уверенно:

• формулы сокращённого умножения;
• правила раскрытия скобок;
• действия с алгебраическими дробями;
• допустимость сокращения только одинаковых множителей;
• свойства степеней;
• связь корня и дробной степени;
• равенство $\sqrt{a^2}=|a|$;
• действия с корнями одной степени;
• преобразование сопряжённых выражений;
• правила подстановки аргумента в функцию;
• свойства чётных и нечётных функций;
• определение и свойства логарифмов;
• формулу перехода к новому основанию;
• свойства взаимно обратных логарифмов;
• равенство $a^{\log_a b}=b$;
• ограничения для дробей, корней и логарифмов.

Преобразование выражений = распознать конструкцию + выбрать свойство + аккуратно выполнить несколько действий + проверить ограничения.

И последний практический совет: не пытайся применить сразу все известные формулы. Посмотри, какие части выражения похожи друг на друга. В хорошем экзаменационном задании почти всегда есть подсказка в самой структуре: одинаковые основания, сопряжённые скобки, повторяющийся логарифм или функция с симметричными аргументами.

Если эта конструкция замечена, длинное выражение часто упрощается до одного числа за несколько строк.