Задание №10 КИМ ЕГЭ 2027 года: прикладные расчёты

1. Почему прикладные задачи кажутся сложнее, чем они есть

В задании №10 могут встретиться автомобили, электрические цепи, нагревательные приборы, радиаторы, линзы, звёзды, газы и даже радиоактивные изотопы. Из-за этого иногда возникает ощущение, что для решения нужно хорошо знать физику.

Но это не так.

Необходимый закон уже дан в условии. От ученика требуется не вывести формулу, а правильно ею воспользоваться:

• понять, какая величина неизвестна;
• подставить данные;
• преобразовать получившееся выражение;
• решить уравнение или неравенство;
• выбрать ответ, подходящий по смыслу.

Поэтому задание №10 проверяет прежде всего алгебру. В зависимости от формулы здесь могут возникнуть:

• дробные выражения;
• квадратные корни;
• степени;
• показательные выражения;
• логарифмы;
• квадратные уравнения и неравенства.

Главная сложность состоит не в вычислениях, а в переходе от текста к математической модели.

Например, фраза «сила тока должна быть не более $20\%$ от тока короткого замыкания» означает не равенство, а неравенство:

$$I\leqslant 0{,}2I_{\text{кз}}.$$

А фраза «сколько времени мяч находился на высоте не менее $6$ метров» требует найти не момент времени, а длину промежутка, на котором выполняется условие

$$h(t)\geqslant 6.$$

В прикладной задаче важно не только решить уравнение, но и понять, какое уравнение или неравенство следует составить.

2. Универсальный алгоритм решения задания №10

Почти любую задачу из этого номера можно решать по одному плану.

Шаг 1. Определить, что требуется найти

Сначала нужно найти в условии вопрос и обозначение искомой величины.

Это может быть:

• время $t$;
• скорость $v$;
• расстояние $l$;
• сопротивление $R$;
• температура $T$;
• давление $p$;
• объём $V$.

Особенно внимательно нужно читать слова «минимальное», «максимальное», «не более», «не менее», «в течение какого времени».

Шаг 2. Проверить единицы измерения

В формулу можно подставлять только согласованные единицы.

Если путь $l$ должен быть выражен в километрах, то

$$250\text{ м}=0{,}25\text{ км}.$$

Если время найдено в часах, а ответ требуется дать в минутах, необходимо использовать равенство

$$1\text{ ч}=60\text{ мин}.$$

Шаг 3. Перевести условие на математический язык

Основные формулировки переводятся так:

$$\text{не более }A \quad\Longrightarrow\quad x\leqslant A;$$

$$\text{не менее }A \quad\Longrightarrow\quad x\geqslant A;$$

$$\text{превышает }A \quad\Longrightarrow\quad x>A;$$

$$\text{минимальное значение} \quad\Longrightarrow\quad \text{левая граница множества решений};$$

$$\text{максимальное значение} \quad\Longrightarrow\quad \text{правая граница множества решений}.$$

Шаг 4. Подставить известные величины

На этом этапе лучше не пытаться выполнять все вычисления одновременно. Сначала нужно аккуратно записать формулу с числами, а затем упрощать её по действиям.

Шаг 5. Решить получившееся уравнение или неравенство

После подстановки прикладная задача превращается в обычную алгебраическую:

• линейное уравнение;
• дробно-рациональное уравнение;
• квадратное уравнение;
• квадратное неравенство;
• иррациональное уравнение;
• показательное или логарифмическое уравнение.

Шаг 6. Проверить смысл ответа

В прикладных задачах математически найденное значение не всегда подходит.

Например:

• время не может быть отрицательным;
• скорость должна быть положительной;
• сопротивление должно быть положительным;
• объём не может быть равен нулю;
• аргумент логарифма должен быть положительным;
• из двух корней иногда требуется выбрать первый момент достижения опасной температуры.

Последняя проверка в задании №10 всегда смысловая: что именно означает найденное число в ситуации задачи?

3. Дробные выражения

В формулах прикладного характера неизвестная величина часто находится в знаменателе. Здесь необходимо помнить два правила.

Во-первых, знаменатель не должен быть равен нулю.

Во-вторых, при умножении неравенства на выражение с неизвестной нужно знать его знак. В физических задачах знак часто определяется смыслом величины. Например, сопротивление, расстояние и скорость распространения сигнала положительны.

Пример 1. Сила тока и минимальное сопротивление

По закону Ома для полной цепи сила тока определяется формулой

$$I=\frac{\varepsilon}{R+r},$$

где $r=1$ Ом — внутреннее сопротивление источника.

Ток короткого замыкания равен

$$I_{\text{кз}}=\frac{\varepsilon}{r}.$$

Найдём наименьшее сопротивление $R$, при котором сила тока будет не более $20\%$ от тока короткого замыкания.

Фраза «не более $20\%$» означает:

$$I\leqslant 0{,}2I_{\text{кз}}.$$

Подставим формулы:

$$\frac{\varepsilon}{R+1} \leqslant 0{,}2\cdot\frac{\varepsilon}{1}.$$

Сократим обе части на положительную величину $\varepsilon$:

$$\frac{1}{R+1}\leqslant 0{,}2.$$

Сопротивление $R$ положительно, поэтому $R+1>0$. Можно перейти к равносильному неравенству:

$$R+1\geqslant \frac{1}{0{,}2}.$$

Так как

$$\frac{1}{0{,}2}=5,$$

получаем:

$$R+1\geqslant 5,$$

$$R\geqslant 4.$$

Требуется наименьшее подходящее сопротивление, поэтому выбираем левую границу.

Ответ: $4$.

Обрати внимание: если бы мы просто подставили $I=0{,}2I_{\text{кз}}$, то нашли бы граничное значение. Но сначала всё равно нужно было понять, почему именно эта граница даёт минимально допустимое сопротивление.

Пример 2. Формула с дробью и неизвестной в двух местах

Частота звукового сигнала вычисляется по формуле

$$f=f_0\cdot\frac{c+u}{c-v},$$

где

$$f_0=160\text{ Гц},\qquad u=8\text{ м/с},\qquad v=11\text{ м/с}.$$

Найдём скорость распространения сигнала $c$, если зарегистрированная частота равна $170$ Гц.

Подставим данные:

$$170=160\cdot\frac{c+8}{c-11}.$$

Разделим обе части на $160$:

$$\frac{170}{160}=\frac{c+8}{c-11}.$$

Сократим дробь:

$$\frac{17}{16}=\frac{c+8}{c-11}.$$

Умножим крест-накрест:

$$17(c-11)=16(c+8).$$

Раскроем скобки:

$$17c-187=16c+128.$$

Перенесём неизвестные влево, числа вправо:

$$17c-16c=128+187,$$

$$c=315.$$

Проверим ограничение:

$$c-11\neq 0.$$

Полученное значение $315$ этому условию удовлетворяет.

Ответ: $315$.

Пример 3. Формула линзы и выбор границы диапазона

Для собирающей линзы выполняется соотношение

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f},$$

где $f=20$ см,

$$15\leqslant d_1\leqslant 40,$$

$$100\leqslant d_2\leqslant 120.$$

Нужно найти наименьшее расстояние $d_1$, при котором изображение будет чётким.

Выразим величину $\dfrac{1}{d_1}$:

$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_2}.$$

Чтобы расстояние $d_1$ было минимальным, величина $\dfrac{1}{d_1}$ должна быть максимальной.

Правая часть увеличивается, когда дробь $\dfrac{1}{d_2}$ уменьшается. Следовательно, нужно взять максимально возможное значение $d_2$:

$$d_2=120.$$

Подставим значения:

$$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{20}-\frac{1}{120}.$$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{1}{20}-\frac{1}{120} = \frac{6}{120}-\frac{1}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}.$$

Значит,

$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{24},$$

$$d_1=24.$$

Проверим допустимый диапазон:

$$15\leqslant 24\leqslant 40.$$

Условие выполнено.

Ответ: $24$.

Это важный тип задания: иногда нужно не просто подставить числа, а сначала определить, какое граничное значение параметра следует использовать.

4. Иррациональные выражения

Иррациональными называются выражения, содержащие корни. В задачах №10 чаще всего встречается квадратный корень:

$$y=\sqrt{x}.$$

Чтобы избавиться от него, обе части уравнения возводят в квадрат:

$$y^2=x.$$

Но делать это нужно только после проверки знаков. Если одна из частей отрицательна, возведение в квадрат может привести к посторонним решениям.

В прикладных задачах величины под корнем обычно связаны со скоростью, временем, расстоянием или высотой, поэтому они неотрицательны по смыслу.

Пример 4. Время торможения автомобиля

Сила трения $F$, масса автомобиля $m$, время торможения $t$ и тормозной путь $S$ связаны формулой

$$F=\frac{2mS}{t^2}.$$

Известно:

$$F=2000\text{ Н},\qquad m=1500\text{ кг},\qquad S=600\text{ м}.$$

Найдём время торможения.

Сначала выразим $t^2$. Умножим обе части формулы на $t^2$:

$$Ft^2=2mS.$$

Разделим обе части на $F$:

$$t^2=\frac{2mS}{F}.$$

Подставим значения:

$$t^2= \frac{2\cdot1500\cdot600}{2000}.$$

Вычислим:

$$t^2=\frac{1800000}{2000}=900.$$

Следовательно,

$$t=\sqrt{900}.$$

Уравнение $t^2=900$ формально имеет два решения:

$$t=\pm30.$$

Но время не может быть отрицательным, поэтому

$$t=30.$$

Ответ: $30$.

Если неизвестная величина обозначает время, длину, скорость или массу, отрицательный корень обычно не имеет практического смысла.

Пример 5. Скорость ракеты и иррациональное неравенство

Видимая длина движущейся ракеты определяется формулой

$$l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},$$

где

$$l_0=5\text{ м},\qquad c=3\cdot10^5\text{ км/с}.$$

Нужно найти минимальную скорость ракеты, при которой наблюдаемая длина станет не более $4$ метров.

Слова «не более $4$» дают неравенство:

$$l\leqslant 4.$$

Подставим формулу:

$$5\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\leqslant 4.$$

Разделим обе части на $5$:

$$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\leqslant 0{,}8.$$

Обе части неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$$1-\frac{v^2}{c^2}\leqslant 0{,}64.$$

Перенесём слагаемые:

$$\frac{v^2}{c^2}\geqslant 1-0{,}64,$$

$$\frac{v^2}{c^2}\geqslant 0{,}36.$$

Так как скорость неотрицательна,

$$\frac{v}{c}\geqslant 0{,}6.$$

Следовательно,

$$v\geqslant 0{,}6c.$$

Найдём минимальное значение:

$$v_{\min}=0{,}6\cdot3\cdot10^5 =1{,}8\cdot10^5.$$

То есть

$$v_{\min}=180000\text{ км/с}.$$

Ответ: $180000$.

Здесь важно не потерять знак неравенства. Увеличение скорости уменьшает выражение под корнем, а значит, уменьшает наблюдаемую длину ракеты.

Пример 6. Согласование единиц измерения

Скорость автомобиля вычисляется по формуле

$$v=\sqrt{2la},$$

где путь $l$ выражается в километрах, а ускорение $a$ — в $\text{км/ч}^2$.

Автомобиль должен, проехав $250$ метров, приобрести скорость $60$ км/ч. Найдём необходимое ускорение.

Сначала переведём метры в километры:

$$250\text{ м}=0{,}25\text{ км}.$$

Подставим данные:

$$60=\sqrt{2\cdot0{,}25\cdot a}.$$

Упростим выражение под корнем:

$$60=\sqrt{0{,}5a}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$3600=0{,}5a.$$

Отсюда

$$a=\frac{3600}{0{,}5}=7200.$$

Ответ: $7200$.

Если бы мы подставили в формулу число $250$ без перевода в километры, результат оказался бы неверным в тысячу раз.

Пример 7. Требуется найти не высоту, а изменение высоты

Расстояние до линии горизонта вычисляется по формуле

$$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}},$$

где $R=6400$ км — радиус Земли, $l$ выражается в километрах, а $h$ — в метрах.

Сначала человек видит горизонт на расстоянии $4{,}8$ км. Нужно определить, на сколько метров ему следует подняться, чтобы расстояние увеличилось до $6{,}4$ км.

Найдём начальную высоту $h_1$:

$$4{,}8=\sqrt{\frac{6400h_1}{500}}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4{,}8^2=\frac{6400h_1}{500}.$$

Так как

$$4{,}8^2=23{,}04,$$

получаем:

$$23{,}04=\frac{6400h_1}{500}.$$

Отсюда

$$h_1=\frac{23{,}04\cdot500}{6400}=1{,}8.$$

Теперь найдём конечную высоту $h_2$:

$$6{,}4=\sqrt{\frac{6400h_2}{500}}.$$

После возведения в квадрат:

$$40{,}96=\frac{6400h_2}{500}.$$

Следовательно,

$$h_2=\frac{40{,}96\cdot500}{6400}=3{,}2.$$

Но в задаче спрашивается не конечная высота, а величина подъёма:

$$\Delta h=h_2-h_1.$$

Поэтому

$$\Delta h=3{,}2-1{,}8=1{,}4.$$

Ответ: $1{,}4$.

Это типичная ловушка задания №10: найденная величина может быть промежуточным результатом, а в ответ требуется записать её изменение.

5. Квадратные уравнения и неравенства

Некоторые процессы описываются формулой вида

$$y(t)=at^2+bt+c.$$

После подстановки нужного значения получается квадратное уравнение:

$$At^2+Bt+C=0.$$

Его можно решить через дискриминант:

$$D=B^2-4AC,$$

$$t_{1,2}=\frac{-B\pm\sqrt D}{2A}.$$

Однако после нахождения корней работа не всегда заканчивается. Нужно понять, что они означают.

Два корня могут обозначать:

• два момента достижения одной высоты;
• начало и конец допустимого промежутка;
• первое и второе достижение опасной температуры;
• один положительный и один отрицательный момент времени.

Пример 8. Сколько времени мяч находится выше заданной высоты

Высота подброшенного вверх мяча меняется по закону

$$h(t)=2+12t-5t^2,$$

где $h$ измеряется в метрах, а $t$ — в секундах.

Нужно определить, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $6$ метров.

Слова «не менее $6$» означают:

$$h(t)\geqslant 6.$$

Подставим формулу:

$$2+12t-5t^2\geqslant 6.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$-5t^2+12t-4\geqslant 0.$$

Умножим неравенство на $-1$. При этом знак неравенства меняется:

$$5t^2-12t+4\leqslant 0.$$

Найдём корни соответствующего уравнения:

$$5t^2-12t+4=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-12)^2-4\cdot5\cdot4 =144-80 =64.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{12\pm8}{10}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac{12-8}{10}=0{,}4,$$

$$t_2=\frac{12+8}{10}=2.$$

Коэффициент при $t^2$ положительный, поэтому выражение

$$5t^2-12t+4$$

неположительно между корнями:

$$t\in[0{,}4;2].$$

Мяч находится на требуемой высоте с момента $0{,}4$ с до момента $2$ с. Продолжительность этого промежутка равна

$$2-0{,}4=1{,}6.$$

Ответ: $1{,}6$.

Записывать в ответ число $2$ нельзя: это момент, когда мяч опустится до высоты $6$ метров. Вопрос задачи относится к продолжительности нахождения на этой высоте.

Пример 9. Как выбрать нужный корень квадратного уравнения

Температура нагревательного элемента меняется по закону

$$T(t)=T_0+bt+at^2,$$

где

$$T_0=1300\text{ К},\qquad b=98\text{ К/мин},\qquad a=-\frac{14}{3}\text{ К/мин}^2.$$

При температуре свыше $1720$ К прибор может испортиться. Нужно определить, через какое наибольшее время после начала работы его следует отключить.

Найдём моменты, когда температура равна предельной:

$$1720=1300+98t-\frac{14}{3}t^2.$$

Умножим уравнение на $3$:

$$5160=3900+294t-14t^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$14t^2-294t+1260=0.$$

Разделим на $14$:

$$t^2-21t+90=0.$$

Разложим левую часть на множители:

$$(t-6)(t-15)=0.$$

Получаем два корня:

$$t_1=6,\qquad t_2=15.$$

Почему в ответ идёт не $15$, а $6$?

Коэффициент при $t^2$ в исходной формуле отрицательный. Значит, график температуры — парабола с ветвями вниз. Температура сначала повышается, в момент $t=6$ впервые достигает $1720$ К, затем становится выше допустимого значения и только в момент $t=15$ снова опускается до $1720$ К.

Чтобы прибор не оказался в опасном режиме, его нужно отключить при первом достижении предельной температуры.

Ответ: $6$.

Если процесс сначала достигает опасного уровня, а затем возвращается к нему, безопасное время определяется первым корнем.

6. Степенные выражения

В степенных формулах неизвестная величина может находиться:

• во второй степени;
• в четвёртой степени;
• в дробной степени;
• одновременно со степенью числа $10$.

Здесь особенно важны свойства степеней:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},$$

$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},$$

$$(a^m)^n=a^{mn},$$

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n},$$

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$$

Пример 10. Четвёртая степень и стандартный вид числа

Мощность излучения звезды определяется законом Стефана — Больцмана:

$$P=\sigma ST^4,$$

где

$$\sigma=5{,}7\cdot10^{-8},$$

$$S=\frac{1}{18}\cdot10^{21},$$

$$P=4{,}104\cdot10^{27}.$$

Найдём температуру $T$.

Подставим значения:

$$4{,}104\cdot10^{27} = \left(5{,}7\cdot10^{-8}\right) \left(\frac{1}{18}\cdot10^{21}\right)T^4.$$

Объединим степени десятки:

$$10^{-8}\cdot10^{21}=10^{13}.$$

Тогда

$$4{,}104\cdot10^{27} = \frac{5{,}7}{18}\cdot10^{13}T^4.$$

Выразим $T^4$:

$$T^4= \frac{4{,}104\cdot10^{27}} {\dfrac{5{,}7}{18}\cdot10^{13}}.$$

Вычисляя коэффициент, получаем:

$$T^4=12{,}96\cdot10^{14}.$$

Представим число в более удобном виде:

$$12{,}96\cdot10^{14} = 1296\cdot10^{12}.$$

Заметим:

$$1296=6^4,$$

$$10^{12}=(10^3)^4.$$

Следовательно,

$$T^4=6^4\cdot(10^3)^4 = (6\cdot10^3)^4.$$

Температура положительна, поэтому

$$T=6\cdot10^3=6000.$$

Ответ: $6000$.

Главная идея — не вычислять четвёртый корень приближённо, а представить число как четвёртую степень.

Пример 11. Дробная степень

При адиабатическом процессе выполняется закон

$$pV^k=10^5,$$

где

$$p=3{,}2\cdot10^6,\qquad k=\frac{5}{3}.$$

Найдём объём газа $V$.

Подставим значения:

$$3{,}2\cdot10^6\cdot V^{\frac53}=10^5.$$

Разделим обе части на $3{,}2\cdot10^6$:

$$V^{\frac53} = \frac{10^5}{3{,}2\cdot10^6}.$$

Упростим правую часть:

$$V^{\frac53}=\frac{1}{32}.$$

Чтобы получить $V$, возведём обе части в степень, обратную $\dfrac53$, то есть в степень $\dfrac35$:

$$V=\left(\frac{1}{32}\right)^{\frac35}.$$

Представим $32$ как степень двойки:

$$32=2^5,$$

поэтому

$$\frac{1}{32}=2^{-5}.$$

Тогда

$$V=(2^{-5})^{\frac35} = 2^{-3} = \frac18 = 0{,}125.$$

Ответ: $0{,}125$.

Если неизвестная находится в степени $\dfrac{m}{n}$, обе части нужно возвести в обратную степень $\dfrac{n}{m}$.

7. Показательные выражения

Показательным называется выражение, в котором неизвестная находится в показателе степени:

$$a^{f(x)}.$$

В задачах из этой темы обычно удаётся представить обе части в виде степеней с одинаковым основанием:

$$a^{f(x)}=a^{g(x)}.$$

Если

$$a>0,\qquad a\neq1,$$

то можно приравнять показатели:

$$f(x)=g(x).$$

Для неравенств нужно учитывать монотонность показательной функции:

• при $a>1$ знак неравенства сохраняется;
• при $0<a<1$ знак неравенства меняется.

Пример 12. Закон радиоактивного распада

Масса радиоактивного изотопа изменяется по закону

$$m=m_0\cdot2^{-\frac{t}{T}},$$

где начальная масса равна $176$ мг, а период полураспада — $3$ минуты.

Найдём, через сколько минут масса станет равной $11$ мг.

Подставим данные:

$$11=176\cdot2^{-\frac{t}{3}}.$$

Разделим обе части на $176$:

$$\frac{11}{176}=2^{-\frac{t}{3}}.$$

Сократим дробь:

$$\frac{1}{16}=2^{-\frac{t}{3}}.$$

Так как

$$16=2^4,$$

то

$$\frac{1}{16}=2^{-4}.$$

Получаем:

$$2^{-4}=2^{-\frac{t}{3}}.$$

Основания одинаковы, поэтому приравниваем показатели:

$$-4=-\frac{t}{3}.$$

Умножим обе части на $-1$:

$$4=\frac{t}{3}.$$

Отсюда

$$t=12.$$

Ответ: $12$.

Результат можно проверить по смыслу. За каждый период полураспада масса уменьшается вдвое:

$$176\to88\to44\to22\to11.$$

Прошло четыре периода по $3$ минуты:

$$4\cdot3=12.$$

Пример 13. Показательное неравенство

Для газа выполняется соотношение

$$pV^a=\operatorname{const},$$

где $a$ — положительная постоянная.

Объём газа уменьшают в два раза. Нужно найти наименьшее значение $a$, при котором давление увеличится не менее чем в четыре раза.

Запишем начальное и конечное состояния:

$$p_1V_1^a=p_2V_2^a.$$

По условию

$$V_2=\frac{V_1}{2}.$$

Подставим:

$$p_1V_1^a = p_2\left(\frac{V_1}{2}\right)^a.$$

Разделим обе части на $V_1^a$:

$$p_1=p_2\left(\frac12\right)^a.$$

Следовательно,

$$\frac{p_2}{p_1}=2^a.$$

Давление должно увеличиться не менее чем в четыре раза:

$$p_2\geqslant4p_1.$$

Значит,

$$2^a\geqslant4.$$

Представим число $4$ как степень двойки:

$$2^a\geqslant2^2.$$

Так как основание $2>1$, знак неравенства сохраняется:

$$a\geqslant2.$$

Наименьшее значение равно

$$a=2.$$

Ответ: $2$.

8. Логарифмические выражения

Определение логарифма:

$$\log_a b=c \quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b.$$

При этом должны выполняться условия:

$$a>0,\qquad a\neq1,\qquad b>0.$$

В рассматриваемых задачах основание логарифма равно $2$, поэтому главный переход имеет вид

$$\log_2 x=k \quad\Longleftrightarrow\quad x=2^k.$$

Самая частая ошибка — пытаться «перенести логарифм» как обычный множитель. Вместо этого нужно сначала получить уравнение вида

$$\log_2(\text{выражение})=\text{число},$$

а затем перейти к показательной форме.

Пример 14. Температура воды в радиаторе

Длина трубы радиатора определяется формулой

$$x=\alpha\frac{cm}{\gamma} \log_2\frac{T_b-T_n}{T-T_n}.$$

Известно:

$$T_n=20^\circ\text{C},$$

$$T_b=60^\circ\text{C},$$

$$m=0{,}3,$$

$$c=4200,$$

$$\gamma=21,$$

$$\alpha=0{,}7,$$

$$x=84.$$

Найдём конечную температуру воды $T$.

Подставим данные:

$$84= 0{,}7\cdot \frac{4200\cdot0{,}3}{21} \cdot \log_2\frac{60-20}{T-20}.$$

Упростим коэффициент:

$$\frac{4200\cdot0{,}3}{21} = \frac{1260}{21} = 60.$$

Тогда

$$84= 0{,}7\cdot60 \log_2\frac{40}{T-20}.$$

Так как

$$0{,}7\cdot60=42,$$

получаем:

$$84=42\log_2\frac{40}{T-20}.$$

Разделим обе части на $42$:

$$2=\log_2\frac{40}{T-20}.$$

Перейдём к показательной форме:

$$\frac{40}{T-20}=2^2.$$

Следовательно,

$$\frac{40}{T-20}=4.$$

Умножим обе части на $T-20$:

$$40=4(T-20).$$

Отсюда

$$T-20=10,$$

$$T=30.$$

Проверим область допустимых значений:

$$T-20>0.$$

При $T=30$ это условие выполняется. Кроме того, вода действительно охладилась от $60^\circ\text{C}$ до $30^\circ\text{C}$.

Ответ: $30$.

Пример 15. Логарифм отношения давлений

Работа при изотермическом сжатии воздуха вычисляется по формуле

$$A=\alpha\nu T\log_2\frac{p_2}{p_1}.$$

Известно:

$$A=10350,$$

$$\alpha=5{,}75,$$

$$\nu=6,$$

$$T=300,$$

$$p_1=2{,}5.$$

Найдём конечное давление $p_2$.

Подставим данные:

$$10350 = 5{,}75\cdot6\cdot300 \log_2\frac{p_2}{2{,}5}.$$

Вычислим коэффициент:

$$5{,}75\cdot6\cdot300=10350.$$

Получаем:

$$10350 = 10350\log_2\frac{p_2}{2{,}5}.$$

Разделим обе части на $10350$:

$$\log_2\frac{p_2}{2{,}5}=1.$$

По определению логарифма:

$$\frac{p_2}{2{,}5}=2^1.$$

Следовательно,

$$\frac{p_2}{2{,}5}=2,$$

$$p_2=2\cdot2{,}5=5.$$

Ответ: $5$.

Пример 16. Степени десятки внутри логарифмической формулы

Напряжение на конденсаторе связано со временем формулой

$$t=aRC\log_2\frac{U_0}{U}.$$

Известно:

$$a=0{,}8,$$

$$R=8\cdot10^6,$$

$$C=6\cdot10^{-6},$$

$$U_0=34,$$

$$t=76{,}8.$$

Найдём напряжение $U$.

Подставим данные:

$$76{,}8 = 0{,}8\cdot8\cdot10^6\cdot6\cdot10^{-6} \log_2\frac{34}{U}.$$

Объединим степени десятки:

$$10^6\cdot10^{-6}=10^0=1.$$

Вычислим коэффициент:

$$0{,}8\cdot8\cdot6=38{,}4.$$

Поэтому

$$76{,}8 = 38{,}4\log_2\frac{34}{U}.$$

Разделим обе части на $38{,}4$:

$$2=\log_2\frac{34}{U}.$$

Перейдём к показательной форме:

$$\frac{34}{U}=2^2=4.$$

Следовательно,

$$U=\frac{34}{4}=8{,}5.$$

Ответ: $8{,}5$.

9. Как распознать тип задачи по формуле

Перед началом вычислений полезно посмотреть, где находится неизвестная величина.

Если неизвестная стоит в знаменателе, нужно готовиться к работе с дробным выражением:

$$I=\frac{U}{R},$$

$$f=f_0\frac{c+u}{c-v}.$$

Если неизвестная находится под корнем, потребуется возведение в квадрат:

$$v=\sqrt{2la},$$

$$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}}.$$

Если неизвестная возведена в степень, нужно выразить эту степень, а затем извлечь соответствующий корень:

$$P=\sigma ST^4,$$

$$pV^{\frac53}=10^5.$$

Если неизвестная находится в показателе, следует привести обе части к одному основанию:

$$m=m_0\cdot2^{-\frac{t}{T}}.$$

Если неизвестная входит в аргумент логарифма, нужно сначала оставить логарифм в одной части уравнения, а потом перейти к показательной форме:

$$\log_2 x=k \quad\Longrightarrow\quad x=2^k.$$

Если в формуле присутствует $t^2$, после подстановки может получиться квадратное уравнение или неравенство:

$$h(t)=2+12t-5t^2.$$

Тип формулы заранее подсказывает основное алгебраическое действие.

10. Самые частые ошибки

Ошибка 1. Подставлять разные единицы измерения

В формуле

$$v=\sqrt{2la}$$

путь должен быть выражен в километрах. Поэтому $250$ метров нужно заменить на $0{,}25$ километра.

Ошибка 2. Заменять неравенство равенством без объяснения

Если требуется, чтобы величина была «не более» или «не менее» заданного значения, сначала нужно записать неравенство. Равенство используется только для нахождения граничного значения.

Ошибка 3. Не менять знак при умножении на отрицательное число

Из неравенства

$$-5t^2+12t-4\geqslant0$$

после умножения на $-1$ получается

$$5t^2-12t+4\leqslant0.$$

Ошибка 4. Записывать оба корня без анализа

В задаче о времени торможения отрицательный корень не подходит.

В задаче о нагревательном элементе оба корня положительны, но отключить прибор нужно при первом достижении опасной температуры.

Ошибка 5. Путать момент времени и продолжительность

Если подходящий промежуток имеет вид

$$t\in[0{,}4;2],$$

то продолжительность равна

$$2-0{,}4=1{,}6,$$

а не $2$ секунды.

Ошибка 6. Неверно работать с отрицательной степенью

Нужно помнить:

$$2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}.$$

Ошибка 7. Забывать об обратной степени

Если

$$V^{\frac53}=\frac{1}{32},$$

то обе части возводятся в степень

$$\frac35,$$

а не снова в степень $\dfrac53$.

Ошибка 8. Неверно переходить от логарифма к степени

Из равенства

$$\log_2 x=2$$

следует

$$x=2^2=4.$$

Ошибка 9. Не проверять область допустимых значений

В выражении

$$\log_2\frac{40}{T-20}$$

аргумент логарифма должен быть положительным:

$$\frac{40}{T-20}>0.$$

В рассматриваемой ситуации это означает

$$T>20.$$

Ошибка 10. Отвечать промежуточной величиной

В задаче о горизонте сначала находятся две высоты:

$$h_1=1{,}8,\qquad h_2=3{,}2.$$

Но ответом является величина подъёма:

$$h_2-h_1=1{,}4.$$

11. Краткая памятка перед экзаменом

При решении задания №10 последовательно задай себе несколько вопросов.

Что требуется найти?

Нужно определить конкретную величину, её обозначение и единицу измерения.

Какая формула дана?

Не следует вспоминать дополнительные физические законы: необходимая зависимость уже находится в условии.

Все ли величины выражены в согласованных единицах?

Особенно внимательно нужно проверять метры и километры, часы и минуты.

В условии дано равенство или ограничение?

Слова «не более», «не менее», «минимальное» и «максимальное» обычно приводят к неравенству или выбору границы.

Где находится неизвестная?

• в знаменателе — работаем с дробью;
• под корнем — возводим в квадрат;
• в степени — извлекаем корень или используем обратную степень;
• в показателе — приводим к одному основанию;
• внутри логарифма — переходим к показательной форме;
• в квадратном трёхчлене — решаем квадратное уравнение или неравенство.

Все ли найденные значения подходят по смыслу?

Нужно исключить отрицательное время, проверить знаменатели и аргументы логарифмов, а также выбрать нужный момент или границу.

Удобная схема оформления выглядит так:

$$\text{Дано: }\ldots$$

$$\text{Найти: }\ldots$$

$$\text{Формула: }\ldots$$

$$\text{Подстановка: }\ldots$$

$$\text{Решение: }\ldots$$

$$\text{Проверка смысла: }\ldots$$

Задание №10 не требует глубокого знания описанного физического процесса. Оно проверяет способность внимательно прочитать условие, увидеть математическую структуру формулы и последовательно выполнить преобразования.

Сначала переведи текст на язык математики, затем реши полученное уравнение и только после этого вернись к смыслу задачи.