Задание №20 КИМ ЕГЭ 2027 года. Теория чисел. Часть 1: последовательности

Почему задание №20 нельзя решать по шаблону

Задание №20 относится к задачам с развёрнутым ответом. Здесь недостаточно получить правильное число: необходимо обосновать каждый вывод, рассмотреть ограничения и доказать, что найденный результат действительно является наибольшим, наименьшим или единственно возможным.

Обычно задача состоит из трёх пунктов:

• в пункте а) нужно ответить, возможна ли некоторая ситуация;
• в пункте б) требуется исследовать другой частный случай;
• в пункте в) нужно найти наибольшее или наименьшее возможное значение либо перечислить все варианты.

В первой части статьи рассмотрим задачи на последовательности:

• арифметические прогрессии из различных натуральных чисел;
• последовательности, в которых соседние члены отличаются в определённое число раз;
• оценки суммы;
• делимость;
• доказательство максимума;
• построение примера, на котором найденная граница достигается.

Главная особенность таких задач состоит в сочетании двух видов рассуждений.

Сначала мы получаем необходимое ограничение: например, доказываем, что членов последовательности не может быть больше $31$.

Затем обязательно строим пример, в котором $31$ член действительно существует.

Чтобы доказать максимальное значение, недостаточно получить верхнюю границу. Нужно ещё показать, что эта граница достижима.

Как доказывать возможность и невозможность

Если в задаче спрашивают: «Может ли...», возможны два типа ответа.

Если ответ положительный, достаточно привести хотя бы один подходящий пример и проверить все условия.

Если ответ отрицательный, нужно доказать, что ни одного подходящего примера не существует.

Например, утверждение

«Да, такая последовательность существует»

без самой последовательности и проверки ничего не доказывает.

А утверждение

«Нет, подобрать числа не получилось»

тоже не является доказательством: возможно, пример существует, но мы его просто не нашли.

Для отрицательного ответа обычно используют:

• противоречие;
• делимость;
• оценку сверху или снизу;
• целочисленность;
• чётность;
• анализ возможных делителей;
• минимально возможную сумму.

Натуральные числа и их минимальная сумма

В задачах №20 натуральными обычно считаются положительные целые числа:

$$1,\ 2,\ 3,\ldots$$

Если требуется взять $n$ различных натуральных чисел, их наименьшая возможная сумма равна:

$$1+2+3+\ldots+n.$$

Используем формулу:

$$\boxed{1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}}.$$

Следовательно, для любых $n$ различных натуральных чисел выполняется:

$$\boxed{S\geqslant\frac{n(n+1)}{2}}.$$

Равенство достигается для набора:

$$1,\ 2,\ 3,\ldots,n.$$

Это одна из самых полезных оценок для задач на максимальное количество чисел.

Например, если сумма различных натуральных чисел меньше $500$, то:

$$\frac{n(n+1)}{2}<500.$$

После решения этого неравенства можно получить верхнюю границу для $n$.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число.

Это число называется разностью прогрессии и обозначается буквой $d$:

$$a_{k+1}=a_k+d.$$

Если первый член равен $a_1$, то:

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$\boxed{S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n}.$$

Также можно использовать формулу:

$$\boxed{S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n}.$$

В задачах на теорию чисел особенно полезна первая форма:

$$2S_n=n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr).$$

Если сумма $S_n$ известна, то получаем условие делимости:

$$n\mid 2S_n.$$

Это резко ограничивает количество возможных значений $n$.

Почему разность должна быть положительной

Если даны различные натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию, их можно расположить по возрастанию:

$$a_1<a_2<\ldots<a_n.$$

Тогда:

$$d>0.$$

Поскольку $d$ — целое число, получаем:

$$d\geqslant1.$$

Также:

$$a_1\geqslant1.$$

Поэтому сумма такой прогрессии не меньше суммы:

$$1,\ 2,\ 3,\ldots,n.$$

Следовательно:

$$S_n\geqslant\frac{n(n+1)}{2}.$$

Эта оценка работает не только для арифметической прогрессии, но и для любых $n$ различных натуральных чисел.

Как находить все возможные значения количества членов

Пусть сумма арифметической прогрессии равна фиксированному числу $S$.

Из формулы:

$$S=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$$

получаем:

$$2S=n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr).$$

Значит, $n$ является делителем числа $2S$.

Далее удобно действовать так:

1. выписать положительные делители числа $2S$;
2. оставить только значения $n$, разрешённые условием;
3. применить оценку:

$$\frac{n(n+1)}{2}\leqslant S;$$

1. для каждого оставшегося значения проверить существование $a_1$ и $d$;
2. построить конкретную прогрессию.

Делимость даёт список кандидатов, но не доказывает существование прогрессии. Для каждого кандидата нужна дополнительная проверка.

Задача об арифметической прогрессии

Условие. Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, причём $n\geqslant3$.

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равна $13$?

б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше $500$?

в) Найдите все возможные значения $n$, если сумма всех данных чисел равна $57$.

Пункт а: может ли сумма равняться 13

Обозначим первый член прогрессии через $a_1$, а разность — через $d$.

Сумма $n$ членов равна:

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

По условию:

$$S_n=13.$$

Умножаем обе части на $2$:

$$n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)=26.$$

Следовательно, $n$ должно быть положительным делителем числа $26$.

Делители числа $26$:

$$1,\ 2,\ 13,\ 26.$$

По условию:

$$n\geqslant3.$$

Поэтому остаются только два кандидата:

$$n=13$$

или

$$n=26.$$

Но сумма $13$ различных натуральных чисел не меньше:

$$1+2+\ldots+13=\frac{13\cdot14}{2}=91.$$

Тем более невозможно получить сумму $13$ из $26$ различных натуральных чисел.

Получили противоречие.

Ответ: нет.

Здесь главным инструментом стала делимость:

$$n\mid26.$$

После этого минимальная сумма различных натуральных чисел окончательно исключила оставшиеся варианты.

Пункт б: максимальное количество членов при сумме меньше 500

Поскольку числа натуральные и различные, их сумма не меньше:

$$1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

По условию сумма меньше $500$, поэтому:

$$\frac{n(n+1)}{2}<500.$$

Умножаем на $2$:

$$n(n+1)<1000.$$

Проверим соседние значения.

При $n=31$:

$$31\cdot32=992<1000.$$

При $n=32$:

$$32\cdot33=1056>1000.$$

Следовательно:

$$n\leqslant31.$$

Но пока мы получили только верхнюю границу. Теперь нужно доказать, что значение $31$ действительно достигается.

Возьмём числа:

$$1,\ 2,\ 3,\ldots,31.$$

Они:

• натуральные;
• различные;
• образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=1$.

Их сумма:

$$S_{31}=\frac{31\cdot32}{2}=496.$$

Получаем:

$$496<500.$$

Значит, последовательность из $31$ числа существует.

Ответ: $31$.

Доказательство максимума состоит из двух частей: сначала $n\leqslant31$, затем строится пример при $n=31$.

Пункт в: все значения n при сумме 57

По формуле суммы:

$$57=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

Умножаем на $2$:

$$n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)=114.$$

Следовательно:

$$n\mid114.$$

Разложим число $114$ на простые множители:

$$114=2\cdot3\cdot19.$$

Положительные делители числа $114$:

$$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 19,\ 38,\ 57,\ 114.$$

Поскольку $n\geqslant3$, пока остаются:

$$3,\ 6,\ 19,\ 38,\ 57,\ 114.$$

Теперь применим оценку минимальной суммы:

$$\frac{n(n+1)}{2}\leqslant57.$$

При $n=10$:

$$\frac{10\cdot11}{2}=55\leqslant57.$$

При $n=11$:

$$\frac{11\cdot12}{2}=66>57.$$

Следовательно:

$$n\leqslant10.$$

Из списка делителей остаются только:

$$n=3$$

и

$$n=6.$$

Теперь нужно показать, что оба значения достижимы.

Проверка значения n = 3

При $n=3$ формула суммы даёт:

$$57=\frac{2a_1+2d}{2}\cdot3.$$

$$57=3(a_1+d).$$

$$a_1+d=19.$$

Например, возьмём:

$$a_1=1,\qquad d=18.$$

Получаем прогрессию:

$$1,\ 19,\ 37.$$

Её сумма:

$$1+19+37=57.$$

Значение $n=3$ подходит.

Проверка значения n = 6

При $n=6$:

$$57=\frac{2a_1+5d}{2}\cdot6.$$

$$57=3(2a_1+5d).$$

$$2a_1+5d=19.$$

Возьмём:

$$a_1=2,\qquad d=3.$$

Получаем прогрессию:

$$2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ 17.$$

Её сумма:

$$2+5+8+11+14+17=57.$$

Значение $n=6$ тоже подходит.

Других кандидатов после применения делимости и оценки не осталось.

Ответ: $3$ и $6$.

Что важно запомнить из задачи об арифметической прогрессии

В этой задаче использовались сразу три идеи.

Первая — формула суммы:

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

Вторая — делимость:

$$n\mid2S_n.$$

Третья — минимальная сумма различных натуральных чисел:

$$S_n\geqslant\frac{n(n+1)}{2}.$$

После получения кандидатов потребовалось построить примеры.

Схема решения: делимость ограничивает варианты, неравенство удаляет слишком большие значения, а пример доказывает достижимость оставшихся.

Последовательности с изменением в несколько раз

Теперь рассмотрим последовательность другого типа.

Каждый следующий член либо в $7$ раз больше предыдущего, либо в $7$ раз меньше него.

Если некоторый член равен $x$, соседний с ним член может быть равен:

$$7x$$

или

$$\frac{x}{7}.$$

Но все члены должны быть натуральными числами. Поэтому переход к $\dfrac{x}{7}$ возможен только тогда, когда $x$ делится на $7$.

Например, последовательность

$$1,\ 7,\ 1,\ 7,\ 1$$

подходит:

• $7$ в $7$ раз больше $1$;
• $1$ в $7$ раз меньше $7$;
• затем переходы повторяются.

При этом такая последовательность не обязана быть монотонной. Она может многократно переходить от меньшего числа к большему и обратно.

Как исследовать короткие последовательности

Если в задаче спрашивают, может ли последовательность состоять из трёх или пяти членов, часто достаточно построить один пример.

Полезно выбирать максимально простую структуру:

$$x,\ 7x,\ x,\ 7x,\ldots$$

В ней каждый соседний переход удовлетворяет условию автоматически.

После этого сумма превращается в линейное выражение относительно $x$.

Например, сумма трёх членов:

$$x+7x+49x=57x$$

для возрастающей последовательности или:

$$7x+x+7x=15x$$

для чередующейся.

Нужно подобрать ту структуру, при которой заданная сумма делится на получившийся коэффициент.

Как оценить максимальное количество членов

Чтобы количество членов было как можно больше при фиксированной сумме, отдельные члены должны быть как можно меньше.

Если соседние натуральные числа отличаются в $7$ раз, то меньший член в каждой паре не меньше $1$, а больший — не меньше $7$.

Поэтому сумма каждой пары соседних членов не меньше:

$$1+7=8.$$

Если последовательность содержит $2m$ членов, их можно разбить на $m$ соседних пар. Тогда сумма не меньше:

$$8m.$$

Если членов $2m+1$, после $m$ пар остаётся ещё один натуральный член, не меньший $1$. Поэтому сумма не меньше:

$$8m+1.$$

Эта оценка позволяет ограничить количество членов.

Чтобы доказать точность границы, полезно использовать чередующуюся последовательность:

$$1,\ 7,\ 1,\ 7,\ldots$$

Она имеет наименьшую возможную сумму среди длинных последовательностей данного типа.

Задача о последовательности с множителем 7

Условие. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в $7$ раз больше, либо в $7$ раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна $9177$.

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Пункт а: последовательность из трёх членов

Попробуем построить возрастающую последовательность:

$$x,\ 7x,\ 49x.$$

Её сумма:

$$x+7x+49x=57x.$$

По условию:

$$57x=9177.$$

Отсюда:

$$x=\frac{9177}{57}=161.$$

Получаем последовательность:

$$161,\ 1127,\ 7889.$$

Проверим переходы:

$$1127=161\cdot7,$$

$$7889=1127\cdot7.$$

Проверим сумму:

$$161+1127+7889=9177.$$

Все числа натуральные, поэтому такой пример подходит.

Ответ: да.

Пункт б: последовательность из пяти членов

Попробуем использовать чередование:

$$7x,\ x,\ 7x,\ x,\ 7x.$$

Каждый соседний член либо в $7$ раз больше, либо в $7$ раз меньше предыдущего.

Сумма равна:

$$7x+x+7x+x+7x=23x.$$

По условию:

$$23x=9177.$$

$$x=\frac{9177}{23}=399.$$

Получаем последовательность:

$$2793,\ 399,\ 2793,\ 399,\ 2793.$$

Действительно:

$$2793=399\cdot7.$$

Сумма:

$$2793+399+2793+399+2793=9177.$$

Все условия выполнены.

Ответ: да.

Пункт в: максимальное количество членов

Разобьём члены последовательности на пары соседних чисел:

• первый и второй;
• третий и четвёртый;
• пятый и шестой;
• и так далее.

В каждой паре одно число в $7$ раз больше другого.

Пусть меньшее число равно $x$. Тогда большее равно $7x$, а сумма пары:

$$x+7x=8x.$$

Поскольку $x$ — натуральное число:

$$x\geqslant1.$$

Значит, сумма каждой пары не меньше:

$$8.$$

Число $9177$ нечётное. Предположим, что в последовательности содержится $2m+1$ членов. Тогда есть $m$ полных пар и ещё один член.

Минимальная возможная сумма:

$$8m+1.$$

Поэтому:

$$8m+1\leqslant9177.$$

$$8m\leqslant9176.$$

$$m\leqslant1147.$$

Следовательно, число членов не больше:

$$2\cdot1147+1=2295.$$

Мы получили верхнюю границу:

$$n\leqslant2295.$$

Теперь нужно показать, что последовательность из $2295$ членов действительно существует.

Возьмём последовательность:

$$1,\ 7,\ 1,\ 7,\ldots,\ 1.$$

Поскольку количество членов нечётное, число $1$ встретится на нечётных местах, а число $7$ — на чётных.

Нечётных мест:

$$1148.$$

Чётных мест:

$$1147.$$

Сумма последовательности:

$$1\cdot1148+7\cdot1147.$$

$$=1148+8029.$$

$$=9177.$$

Каждый соседний член в $7$ раз больше или в $7$ раз меньше предыдущего.

Значит, граница $2295$ достигается.

Ответ: $2295$.

Почему разбиение на пары работает

В каждой паре соседних членов обязательно находятся числа вида:

$$x$$

и

$$7x.$$

Неважно, в каком порядке они расположены:

$$(x,7x)$$

или

$$(7x,x).$$

Их сумма всё равно равна:

$$8x\geqslant8.$$

Именно поэтому можно оценить количество пар, не исследуя всю последовательность.

Такой приём часто используется в задачах №20:

Если локальное условие связывает соседние элементы, попробуй разбить последовательность на небольшие блоки и оценить сумму каждого блока.

Необходимое условие и достижимость

В пункте в) были выполнены два принципиально разных действия.

Сначала мы доказали:

$$n\leqslant2295.$$

Это необходимое условие.

Затем построили пример:

$$1,\ 7,\ 1,\ 7,\ldots,\ 1$$

из $2295$ членов.

Это доказательство достижимости.

Если бы пример построить не удалось, число $2295$ могло бы оказаться только формальной верхней границей, а реальный максимум был бы меньше.

Универсальный алгоритм задач на последовательности

1. Определи, какие свойства должны выполнять соседние члены.
2. Переведи словесное условие в формулу.
3. Для вопроса о возможности попробуй построить простую периодическую последовательность.
4. Для фиксированной суммы ищи условия делимости.
5. Для максимального количества оцени минимальную сумму одного члена, пары или блока.
6. Получи верхнюю границу.
7. Построй пример на найденной границе.
8. Проверь:
   • натуральность;
   • различность, если она требуется;
   • правило перехода;
   • точную сумму;
   • количество членов.

Частые ошибки

Ограничиться подбором

Если пример не найден, это ещё не доказывает невозможность.

Не доказать достижимость максимума

Неравенство

$$n\leqslant31$$

ещё не означает, что ответ равен $31$.

Нужно привести прогрессию из $31$ члена с подходящей суммой.

Не использовать делимость

Из равенства

$$n\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)=114$$

сразу следует:

$$n\mid114.$$

Это позволяет заменить бесконечный перебор коротким списком делителей.

Забыть о натуральности

Если после вычислений получилось:

$$x=\frac{9177}{23}=399,$$

значение подходит.

Если бы получилось нецелое число, соответствующее построение не существовало бы.

Неверно оценить минимальную сумму

Минимальная сумма $n$ различных натуральных чисел:

$$\frac{n(n+1)}{2},$$

а не $n^2$ и не $n(n-1)$.

Не проверить все условия примера

При построении последовательности нужно проверить не только сумму, но и отношение каждого соседнего члена к предыдущему.

Краткая памятка

Сумма первых натуральных чисел:

$$> 1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}. >$$

Формула члена арифметической прогрессии:

$$> a_n=a_1+(n-1)d. >$$

Сумма арифметической прогрессии:

$$> S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n. >$$

Условие делимости:

$$> n\mid2S_n. >$$

Минимальная сумма $n$ различных натуральных чисел:

$$> S\geqslant\frac{n(n+1)}{2}. >$$

Сумма пары чисел, одно из которых в $7$ раз больше другого:

$$> x+7x=8x\geqslant8. >$$

Итог

В задачах №20 на последовательности полезно искать не отдельные числа, а общую структуру.

Для арифметической прогрессии эту структуру задают первый член, разность и количество членов:

$$a_1,\quad d,\quad n.$$

При известной сумме формула прогрессии даёт ограничения на делимость:

$$n\mid2S.$$

Условие натуральности и различности даёт оценку:

$$S\geqslant\frac{n(n+1)}{2}.$$

В последовательностях с особой связью между соседними членами удобно объединять их в пары или блоки и оценивать минимальную сумму каждого блока.

Главный принцип доказательства максимума:

1. получить верхнюю границу;
2. построить пример, на котором она достигается.

Задача №20 на последовательности = структура + делимость + оценка + конструкция.

Если в решении присутствуют все четыре элемента, доказательство обычно получается коротким, строгим и понятным.