Слово «уравнение» знакомо каждому ещё с начальной школы. Сначала были примеры вроде

x+5=12,x+5=12,

потом появились дроби, степени, корни, логарифмы и выражения, в которых переменная находится в показателе степени.

Из-за этого может показаться, что иррациональные, степенные, показательные и логарифмические уравнения — четыре совершенно разные темы. Но в задании №7 большинство примеров строится по одному принципу:

Нужно преобразовать сложную запись к обычному линейному или квадратному уравнению, решить его и проверить ограничения.

Например, уравнение

4x−7=644^{x-7}=64

выглядит показательным, но после представления числа 6464 в виде степени четвёрки превращается в простейшее линейное уравнение:

4x−7=43,4^{x-7}=4^3,

x−7=3.x-7=3.

А уравнение

7x−31=2\sqrt{7x-31}=2

после возведения обеих частей в квадрат становится линейным:

7x−31=4.7x-31=4.

В задании №7 могут встретиться:

  • степенные уравнения;
  • иррациональные уравнения;
  • показательные уравнения;
  • логарифмические уравнения;
  • уравнения, в которых нужно применить несколько преобразований;
  • задачи с несколькими полученными корнями, из которых в ответ требуется записать только один.

Главная цель этой статьи — не просто перечислить формулы, а разобраться, почему они работают, когда их можно применять и где возникают посторонние корни.

Что значит решить уравнение

Решить уравнение — значит найти все значения переменной, при которых левая и правая части равны.

Например, рассмотрим уравнение:

3x+1=10.3x+1=10.

Переносим единицу вправо:

3x=9.3x=9.

Делим обе части на 33:

x=3.x=3.

Проверим найденное значение:

3⋅3+1=10.3\cdot3+1=10.

Равенство верное, поэтому x=3x=3 — корень уравнения.

Корень уравнения — значение переменной, которое превращает уравнение в верное числовое равенство.

Уравнение может иметь:

  • один корень;
  • несколько корней;
  • бесконечно много корней;
  • не иметь корней.

В задании №7 чаще всего нужно получить одно число и записать его в бланк ответов.

Равносильные преобразования и уравнения-следствия

При решении уравнений мы постоянно меняем их внешний вид. Но не все преобразования одинаково безопасны.

Равносильное преобразование не меняет множество корней.

Например:

2x+5=172x+5=17

равносильно уравнению

2x=12.2x=12.

Мы вычли из обеих частей одно и то же число, поэтому корни не изменились.

К равносильным преобразованиям относятся:

  • прибавление одного и того же выражения к обеим частям;
  • вычитание одного и того же выражения из обеих частей;
  • умножение обеих частей на одно и то же ненулевое число;
  • деление обеих частей на одно и то же ненулевое число;
  • раскрытие скобок;
  • приведение подобных слагаемых.

Но некоторые действия могут привести к появлению посторонних корней.

Главный пример — возведение обеих частей в квадрат.

Из равенства

x=3x=3

следует

x2=9.x^2=9.

Однако уравнение

x2=9x^2=9

имеет два корня:

x=3x=3

и

x=−3.x=-3.

Получается, что после возведения в квадрат мог появиться новый корень.

Если в ходе решения обе части уравнения возводились в чётную степень, найденные корни необходимо проверить.

Область допустимых значений

Не каждое выражение имеет смысл при любом действительном значении переменной.

Например, арифметический квадратный корень определён только для неотрицательных чисел:

x−2\sqrt{x-2}

существует, если

x−2⩾0,x-2\geqslant0,

то есть

x⩾2.x\geqslant2.

Логарифм определён только при положительном аргументе:

log⁡3(x+5)\log_3(x+5)

существует, если

x+5>0,x+5>0,

то есть

x>−5.x>-5.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

1x−4\frac{1}{x-4}

имеет смысл, если

x≠4.x\ne4.

Все ограничения, при которых выражения уравнения имеют смысл, называют областью допустимых значений, или сокращённо ОДЗ.

ОДЗ можно выписать в начале решения или проверить каждый найденный корень в конце. В логарифмических и иррациональных уравнениях забывать об ограничениях особенно опасно.

Как распознать тип уравнения

Название уравнения зависит от того, где находится переменная.

Вид уравненияТип
(x+3)5=32(x+3)^5=32степенное
2x−1=5\sqrt{2x-1}=5иррациональное
32x+1=273^{2x+1}=27показательное
log⁡5(x−4)=2\log_5(x-4)=2логарифмическое

В степенном уравнении переменная находится в основании степени:

(x+3)5.(x+3)^5.

В показательном уравнении переменная находится в показателе:

32x+1.3^{2x+1}.

Это разные типы уравнений, поэтому и способы решения у них разные.

Не путай x3x^3 и 3x3^x. В первом выражении переменная является основанием степени, во втором — показателем.

Степенные уравнения

Степенными называют уравнения, которые можно привести к виду

f(x)n=a.f(x)^n=a.

Например:

(x−1)3=−8,(x-1)^3=-8,

(x+8)5=243,(x+8)^5=243,

(2x+7)2=(2x−1)2.(2x+7)^2=(2x-1)^2.

При решении особенно важно учитывать, является степень чётной или нечётной.

Нечётная степень

Рассмотрим уравнение:

x3=8.x^3=8.

Так как

8=23,8=2^3,

получаем:

x3=23.x^3=2^3.

Следовательно,

x=2.x=2.

Для нечётной степени действует правило:

a2k+1=b2k+1  ⟺  a=b.a^{2k+1}=b^{2k+1}\iff a=b.

Уравнение вида

f(x)2k+1=cf(x)^{2k+1}=c

имеет ровно одно значение выражения f(x)f(x):

f(x)=c2k+1.f(x)=\sqrt[2k+1]{c}.

При нечётном корне отрицательное подкоренное выражение допустимо:

−83=−2,\sqrt[3]{-8}=-2,

потому что

(−2)3=−8.(-2)^3=-8.

Разбор степенного уравнения с кубом

Задача. Найдите корень уравнения

(x−1)3=−8.(x-1)^3=-8.

Представим правую часть в виде куба:

−8=(−2)3.-8=(-2)^3.

Тогда

(x−1)3=(−2)3.(x-1)^3=(-2)^3.

Степени одинаковые и нечётные, поэтому равны основания:

x−1=−2.x-1=-2.

Прибавляем единицу:

x=−1.x=-1.

Проверка:

(−1−1)3=(−2)3=−8.(-1-1)^3=(-2)^3=-8.

Ответ: −1\boxed{-1}

Разбор степенного уравнения с пятой степенью

Задача. Найдите корень уравнения

(x+8)5=243.(x+8)^5=243.

Заметим, что

243=35.243=3^5.

Поэтому

(x+8)5=35.(x+8)^5=3^5.

Поскольку степень нечётная, приравниваем основания:

x+8=3.x+8=3.

x=−5.x=-5.

Ответ: −5\boxed{-5}

Чётная степень

Теперь рассмотрим уравнение:

x2=9.x^2=9.

У него два корня:

x=3x=3

и

x=−3.x=-3.

Причина в том, что квадрат как положительного, так и отрицательного числа может быть равен 99:

32=9,3^2=9,

(−3)2=9.(-3)^2=9.

Поэтому из равенства

f(x)2=af(x)^2=a

при a>0a>0 следует:

f(x)=af(x)=\sqrt a

или

f(x)=−a.f(x)=-\sqrt a.

Коротко это записывается так:

f(x)=±a.f(x)=\pm\sqrt a.

Если правая часть отрицательна, уравнение с чётной степенью не имеет действительных корней:

x2=−4.x^2=-4.

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Для чётной степени знак ±\pm обязателен. Для нечётной степени двух вариантов не возникает.

Равенство квадратов

Если

A2=B2,A^2=B^2,

то нельзя сразу писать A=BA=B.

Правильное рассуждение:

A2−B2=0.A^2-B^2=0.

Используем формулу разности квадратов:

(A−B)(A+B)=0.(A-B)(A+B)=0.

Следовательно,

A−B=0A-B=0

или

A+B=0.A+B=0.

То есть

A=BA=B

или

A=−B.A=-B.

Получаем правило:

A2=B2  ⟺  A=B или A=−B.\boxed{A^2=B^2\iff A=B\ \text{или}\ A=-B}.

Разбор уравнения с равными квадратами

Задача. Найдите корень уравнения

(2x+7)2=(2x−1)2.(2x+7)^2=(2x-1)^2.

Используем равенство квадратов.

Первый случай:

2x+7=2x−1.2x+7=2x-1.

Вычитаем 2x2x из обеих частей:

7=−1.7=-1.

Получилось неверное равенство, поэтому первый случай корней не даёт.

Второй случай:

2x+7=−(2x−1).2x+7=-(2x-1).

Раскрываем скобки:

2x+7=−2x+1.2x+7=-2x+1.

Переносим переменные влево, числа вправо:

4x=−6.4x=-6.

x=−32.x=-\frac32.

В десятичной форме:

x=−1,5.x=-1{,}5.

Ответ: −1,5\boxed{-1{,}5}

Можно решить это уравнение и раскрытием скобок:

4x2+28x+49=4x2−4x+1.4x^2+28x+49=4x^2-4x+1.

Квадратичные слагаемые сокращаются:

28x+49=−4x+1.28x+49=-4x+1.

32x=−48.32x=-48.

x=−32.x=-\frac32.

Оба способа верны, но формула равенства квадратов обычно короче.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная находится под знаком корня.

Например:

7x−31=2,\sqrt{7x-31}=2,

64x−54=17,\sqrt{\frac{6}{4x-54}}=\frac17,

−72−17x=−x,\sqrt{-72-17x}=-x,

x−43=3.\sqrt[3]{x-4}=3.

Основная идея решения проста: нужно избавиться от корня, возведя обе части уравнения в соответствующую степень.

Но здесь появляется важное различие:

  • квадратный корень связан с чётной степенью и требует проверки;
  • кубический корень связан с нечётной степенью и не создаёт такого ограничения.

Что нужно знать о квадратном корне

Запись

a\sqrt a

обозначает неотрицательное число, квадрат которого равен aa.

Например:

25=5,\sqrt{25}=5,

а не ±5\pm5.

Действительно,

25=5.\sqrt{25}=5.

Но уравнение

x2=25x^2=25

имеет два корня:

x=±5.x=\pm5.

Это разные ситуации.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

a⩾0.a\geqslant0.

Кроме того, сам квадратный корень всегда неотрицателен:

a⩾0.\sqrt a\geqslant0.

Поэтому уравнение

f(x)=g(x)\sqrt{f(x)}=g(x)

требует выполнения условий:

f(x)⩾0,f(x)\geqslant0,

g(x)⩾0.g(x)\geqslant0.

Если квадратный корень равен выражению с переменной, правая часть обязательно должна быть неотрицательной.

Простейшее иррациональное уравнение

Задача. Найдите корень уравнения

7x−31=2.\sqrt{7x-31}=2.

Правая часть положительна, поэтому можно возвести обе части в квадрат:

7x−31=22.7x-31=2^2.

7x−31=4.7x-31=4.

Прибавляем 3131:

7x=35.7x=35.

x=5.x=5.

Проверим:

7⋅5−31=35−31=4=2.\sqrt{7\cdot5-31} = \sqrt{35-31} = \sqrt4 = 2.

Ответ: 5\boxed{5}

В этой задаче проверка проходит сразу. Правая часть равна положительному числу, а после решения подкоренное выражение становится равным 44.

Иррациональное уравнение с дробью под корнем

Задача. Найдите корень уравнения

2x+53=5.\sqrt{\frac{2x+5}{3}}=5.

Возводим обе части в квадрат:

2x+53=25.\frac{2x+5}{3}=25.

Умножаем обе части на 33:

2x+5=75.2x+5=75.

2x=70.2x=70.

x=35.x=35.

Проверим подстановкой:

2⋅35+53=753=25=5.\sqrt{\frac{2\cdot35+5}{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5.

Ответ: 35\boxed{35}

Дробно-иррациональное уравнение

Задача. Найдите корень уравнения

64x−54=17.\sqrt{\frac{6}{4x-54}}=\frac17.

Сначала обратим внимание на ограничения.

Знаменатель не должен быть равен нулю:

4x−54≠0.4x-54\ne0.

Кроме того, выражение под корнем должно быть неотрицательным. Числитель 66 положителен, поэтому знаменатель тоже должен быть положительным:

4x−54>0.4x-54>0.

x>272.x>\frac{27}{2}.

Теперь возводим обе части в квадрат:

64x−54=149.\frac{6}{4x-54}=\frac{1}{49}.

Перемножаем крест-накрест:

6⋅49=4x−54.6\cdot49=4x-54.

294=4x−54.294=4x-54.

Прибавляем 5454:

348=4x.348=4x.

x=87.x=87.

Проверяем ограничение:

87>272.87>\frac{27}{2}.

Оно выполняется.

Ответ: 87\boxed{87}

Если переменная находится в знаменателе под корнем, нужно одновременно следить за знаком подкоренного выражения и за тем, чтобы знаменатель не обращался в ноль.

Иррациональное уравнение с переменной в правой части

Задача. Решите уравнение

−72−17x=−x.\sqrt{-72-17x}=-x.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Квадратный корень неотрицателен, поэтому правая часть тоже должна быть неотрицательной:

−x⩾0.-x\geqslant0.

Отсюда

x⩽0.x\leqslant0.

Подкоренное выражение также должно быть неотрицательным:

−72−17x⩾0.-72-17x\geqslant0.

−17x⩾72.-17x\geqslant72.

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

x⩽−7217.x\leqslant-\frac{72}{17}.

Теперь возводим обе части в квадрат:

−72−17x=x2.-72-17x=x^2.

Переносим всё в одну сторону:

x2+17x+72=0.x^2+17x+72=0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

x2+17x+72=(x+8)(x+9).x^2+17x+72=(x+8)(x+9).

Поэтому

(x+8)(x+9)=0.(x+8)(x+9)=0.

Получаем два корня:

x=−8x=-8

или

x=−9.x=-9.

Проверим их в исходном уравнении.

Для x=−8x=-8:

−72−17⋅(−8)=−72+136=64=8,\sqrt{-72-17\cdot(-8)} = \sqrt{-72+136} = \sqrt{64} = 8,

−x=8.-x=8.

Корень подходит.

Для x=−9x=-9:

−72−17⋅(−9)=−72+153=81=9,\sqrt{-72-17\cdot(-9)} = \sqrt{-72+153} = \sqrt{81} = 9,

−x=9.-x=9.

Второй корень тоже подходит.

По условию нужно записать меньший корень:

−9<−8.-9<-8.

Ответ: −9\boxed{-9}

Если после возведения в квадрат получилось несколько корней, нужно проверить каждый из них, а затем внимательно прочитать, какой именно корень требуется записать в ответ.

Пример появления постороннего корня

Рассмотрим уравнение:

x+2=x.\sqrt{x+2}=x.

Поскольку квадратный корень неотрицателен, сразу получаем:

x⩾0.x\geqslant0.

Возводим обе части в квадрат:

x+2=x2.x+2=x^2.

x2−x−2=0.x^2-x-2=0.

Разложим на множители:

(x−2)(x+1)=0.(x-2)(x+1)=0.

Получаем:

x=2x=2

или

x=−1.x=-1.

Но условие x⩾0x\geqslant0 выполняется только для x=2x=2.

Проверим:

2+2=2.\sqrt{2+2}=2.

Корень подходит.

Для x=−1x=-1:

−1+2=1,\sqrt{-1+2}=1,

а правая часть равна −1-1. Равенство неверно.

Значит, x=−1x=-1 — посторонний корень.

Ответ: 2\boxed{2}

Посторонний корень удовлетворяет уравнению, полученному после преобразования, но не удовлетворяет исходному уравнению.

Когда иррациональное уравнение не имеет корней

Рассмотрим уравнение:

3x+1=−4.\sqrt{3x+1}=-4.

Левая часть неотрицательна:

3x+1⩾0.\sqrt{3x+1}\geqslant0.

Правая часть отрицательна:

−4<0.-4<0.

Неотрицательное число не может быть равно отрицательному, поэтому уравнение не имеет корней.

Нет необходимости возводить обе части в квадрат.

Если квадратный корень равен отрицательному числу, уравнение сразу не имеет действительных корней.

Кубический корень

Кубический корень, в отличие от квадратного, определён и для отрицательных чисел:

−83=−2.\sqrt[3]{-8}=-2.

Для уравнения

f(x)3=a\sqrt[3]{f(x)}=a

можно возвести обе части в куб:

f(x)=a3.f(x)=a^3.

Посторонние корни при таком преобразовании не появляются, потому что возведение в нечётную степень сохраняет знак числа.

Разбор уравнения с кубическим корнем

Задача. Найдите корень уравнения

x−43=3.\sqrt[3]{x-4}=3.

Возводим обе части в куб:

x−4=33.x-4=3^3.

x−4=27.x-4=27.

x=31.x=31.

Ответ: 31\boxed{31}

Кубический корень с отрицательной правой частью

Задача. Найдите корень уравнения

x+23=−2.\sqrt[3]{x+2}=-2.

Возводим обе части в куб:

x+2=(−2)3.x+2=(-2)^3.

x+2=−8.x+2=-8.

x=−10.x=-10.

Ответ: −10\boxed{-10}

Здесь отрицательная правая часть допустима, потому что кубический корень может быть отрицательным.

Универсальный алгоритм решения иррационального уравнения

Если дано уравнение вида

f(x)=g(x),\sqrt{f(x)}=g(x),

действуй так:

  1. Запиши условие:

g(x)⩾0.g(x)\geqslant0.

  1. При необходимости запиши условие для подкоренного выражения:

f(x)⩾0.f(x)\geqslant0.

  1. Возведи обе части в квадрат:

f(x)=g(x)2.f(x)=g(x)^2.

  1. Реши полученное уравнение.
  2. Проверь найденные значения по ограничениям или подстановкой в исходное уравнение.
  3. Запиши только подходящие корни.

Если дано уравнение с кубическим корнем:

f(x)3=g(x),\sqrt[3]{f(x)}=g(x),

обычно достаточно возвести обе части в куб:

f(x)=g(x)3.f(x)=g(x)^3.

Показательные уравнения

Показательным называется уравнение, в котором переменная находится в показателе степени.

Например:

4x−7=64,4^{x-7}=64,

57−x=1125,5^{7-x}=\frac{1}{125},

61+3x=362x.6^{1+3x}=36^{2x}.

Основная идея решения:

Представить обе части в виде степеней с одинаковым основанием, а затем приравнять показатели.

Если

af(x)=ag(x),a^{f(x)}=a^{g(x)},

где

a>0,a≠1,a>0,\qquad a\ne1,

то

f(x)=g(x).f(x)=g(x).

Например:

2x+3=272^{x+3}=2^7

равносильно уравнению

x+3=7.x+3=7.

Отсюда

x=4.x=4.

Основные свойства степеней

Для решения показательных уравнений нужно уверенно использовать свойства:

am⋅an=am+n,a^m\cdot a^n=a^{m+n},

aman=am−n,\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},

(am)n=amn,(a^m)^n=a^{mn},

(ab)n=anbn,(ab)^n=a^nb^n,

(ab)n=anbn,\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n},

a−n=1an,a^{-n}=\frac{1}{a^n},

a0=1,a≠0.a^0=1,\qquad a\ne0.

Особенно важно уметь представлять числа в виде степеней:

ЧислоПредставление
88232^3
1616242^4 или 424^2
2727333^3
3232252^5
3636626^2
6464262^6, 434^3 или 828^2
8181343^4 или 929^2
125125535^3
243243353^5
1125\dfrac1{125}5−35^{-3}

Простейшее показательное уравнение

Задача. Найдите корень уравнения

4x−7=64.4^{x-7}=64.

Представим число 6464 как степень числа 44:

64=43.64=4^3.

Получаем:

4x−7=43.4^{x-7}=4^3.

Основания одинаковые, положительные и не равны единице. Приравниваем показатели:

x−7=3.x-7=3.

x=10.x=10.

Ответ: 10\boxed{10}

Показательное уравнение с отрицательной степенью

Задача. Найдите корень уравнения

57−x=1125.5^{7-x}=\frac{1}{125}.

Представим правую часть как степень числа 55.

Так как

125=53,125=5^3,

то

1125=5−3.\frac{1}{125}=5^{-3}.

Получаем:

57−x=5−3.5^{7-x}=5^{-3}.

Приравниваем показатели:

7−x=−3.7-x=-3.

−x=−10.-x=-10.

x=10.x=10.

Ответ: 10\boxed{10}

Число в знаменателе дроби соответствует отрицательному показателю: 1an=a−n\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}.

Показательное уравнение с разными основаниями

Задача. Найдите корень уравнения

(12)x−6=8x.\left(\frac12\right)^{x-6}=8^x.

Нужно привести обе части к одному основанию.

Представим число 88 через 12\dfrac12:

8=23=(12)−3.8=2^3=\left(\frac12\right)^{-3}.

Тогда

8x=((12)−3)x=(12)−3x.8^x=\left(\left(\frac12\right)^{-3}\right)^x = \left(\frac12\right)^{-3x}.

Получаем:

(12)x−6=(12)−3x.\left(\frac12\right)^{x-6} = \left(\frac12\right)^{-3x}.

Приравниваем показатели:

x−6=−3x.x-6=-3x.

4x=6.4x=6.

x=32=1,5.x=\frac32=1{,}5.

Ответ: 1,5\boxed{1{,}5}

Уравнение со степенью составного основания

Задача. Найдите корень уравнения

61+3x=362x.6^{1+3x}=36^{2x}.

Представим число 3636 как степень числа 66:

36=62.36=6^2.

Тогда

362x=(62)2x=64x.36^{2x}=(6^2)^{2x}=6^{4x}.

Получаем:

61+3x=64x.6^{1+3x}=6^{4x}.

Приравниваем показатели:

1+3x=4x.1+3x=4x.

x=1.x=1.

Ответ: 1\boxed{1}

Показательное уравнение с произведением степеней

Задача. Найдите корень уравнения

2x+3=0,4⋅5x+3.2^{x+3}=0{,}4\cdot5^{x+3}.

В показателях стоит одинаковое выражение x+3x+3. Разделим обе части на положительное число 5x+35^{x+3}:

2x+35x+3=0,4.\frac{2^{x+3}}{5^{x+3}}=0{,}4.

Используем свойство степеней:

(25)x+3=0,4.\left(\frac25\right)^{x+3}=0{,}4.

Но

0,4=25.0{,}4=\frac25.

Поэтому

(25)x+3=(25)1.\left(\frac25\right)^{x+3} = \left(\frac25\right)^1.

Приравниваем показатели:

x+3=1.x+3=1.

x=−2.x=-2.

Ответ: −2\boxed{-2}

Если по обе стороны стоят степени с разными основаниями, но одинаковыми показателями, часто полезно разделить одну часть на другую.

Когда основания нельзя приравнивать напрямую

Из равенства

2x=82^x=8

можно получить

2x=232^x=2^3

и затем

x=3.x=3.

Но из равенства

2x=352^x=3^5

нельзя приравнивать xx и 55, потому что основания различны.

В простейших заданиях числа обычно можно привести к общему основанию. Если это не удаётся, могут потребоваться логарифмы, но для стандартных коротких уравнений чаще всего общий вид основания скрыт в записи числа.

Универсальный алгоритм показательного уравнения

  1. Посмотри, можно ли представить обе части как степени одного числа.
  2. Используй свойства степеней.
  3. Получи уравнение вида:

af(x)=ag(x).a^{f(x)}=a^{g(x)}.

  1. Проверь условия:

a>0,a≠1.a>0,\qquad a\ne1.

  1. Приравняй показатели:

f(x)=g(x).f(x)=g(x).

  1. Реши полученное линейное или квадратное уравнение.
  2. Запиши ответ.

Логарифмические уравнения

Логарифмическим называется уравнение, в котором переменная находится:

  • под знаком логарифма;
  • в основании логарифма;
  • одновременно в нескольких логарифмических выражениях.

Например:

log⁡5(x+4)=2,\log_5(x+4)=2,

log⁡5(7−x)=log⁡5(3−x)+1,\log_5(7-x)=\log_5(3-x)+1,

log⁡x−549=2.\log_{x-5}49=2.

Логарифмические уравнения часто кажутся сложными из-за непривычной записи. Но логарифм — это всего лишь вопрос о показателе степени.

Определение логарифма

Равенство

log⁡ab=c\log_a b=c

означает:

ac=b.a^c=b.

То есть

log⁡ab=c  ⟺  ac=b.\boxed{\log_a b=c\iff a^c=b}.

Например:

log⁡28=3,\log_2 8=3,

потому что

23=8.2^3=8.

Ещё примеры:

log⁡525=2,\log_5 25=2,

потому что

52=25;5^2=25;

log⁡319=−2,\log_3\frac19=-2,

потому что

3−2=19;3^{-2}=\frac19;

log⁡71=0,\log_7 1=0,

потому что

70=1.7^0=1.

Чтобы понять логарифм, задай вопрос: «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент?»

Ограничения для логарифма

Выражение

log⁡ab\log_a b

имеет смысл при трёх условиях:

a>0,a>0,

a≠1,a\ne1,

b>0.b>0.

Здесь aa — основание логарифма, а bb — аргумент.

Например, для выражения

log⁡x−2(7−x)\log_{x-2}(7-x)

нужно записать:

x−2>0,x-2>0,

x−2≠1,x-2\ne1,

7−x>0.7-x>0.

То есть:

x>2,x>2,

x≠3,x\ne3,

x<7.x<7.

Вместе получаем:

2<x<7,x≠3.2<x<7,\qquad x\ne3.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Значение ноль тоже запрещено.

Простейшее логарифмическое уравнение

Задача. Найдите корень уравнения

log⁡5(4+x)=2.\log_5(4+x)=2.

По определению логарифма:

4+x=52.4+x=5^2.

4+x=25.4+x=25.

x=21.x=21.

Проверим аргумент:

4+21=25>0.4+21=25>0.

Ответ: 21\boxed{21}

Равенство логарифмов с одинаковыми основаниями

Если

log⁡af(x)=log⁡ag(x),\log_a f(x)=\log_a g(x),

где

a>0,a≠1,a>0,\qquad a\ne1,

то

f(x)=g(x),f(x)=g(x),

но обязательно должны выполняться условия:

f(x)>0,f(x)>0,

g(x)>0.g(x)>0.

Разбор уравнения с равными логарифмами

Задача. Найдите корень уравнения

log⁡5(5−x)=log⁡53.\log_5(5-x)=\log_5 3.

Основания логарифмов одинаковые, поэтому приравниваем аргументы:

5−x=3.5-x=3.

−x=−2.-x=-2.

x=2.x=2.

Проверяем аргумент:

5−2=3>0.5-2=3>0.

Корень подходит.

Ответ: 2\boxed{2}

Основные свойства логарифмов

Для положительных xx и yy выполняются свойства:

log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay,\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,

log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay,\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y,

log⁡a(xk)=klog⁡ax.\log_a(x^k)=k\log_a x.

Также полезны равенства:

log⁡aa=1,\log_a a=1,

log⁡a1=0.\log_a 1=0.

При переходе к новому основанию:

log⁡ab=log⁡cblog⁡ca.\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.

Особый случай:

log⁡1ab=−log⁡ab.\log_{\frac1a}b=-\log_a b.

Например:

log⁡0,5x=log⁡12x=−log⁡2x.\log_{0{,}5}x = \log_{\frac12}x = -\log_2x.

Разность логарифмов

Задача. Найдите корень уравнения

log⁡5(7−x)=log⁡5(3−x)+1.\log_5(7-x)=\log_5(3-x)+1.

Сначала выпишем ОДЗ:

7−x>0,7-x>0,

3−x>0.3-x>0.

Отсюда:

x<7,x<7,

x<3.x<3.

Общее ограничение:

x<3.x<3.

Перенесём логарифм в левую часть:

log⁡5(7−x)−log⁡5(3−x)=1.\log_5(7-x)-\log_5(3-x)=1.

Используем свойство разности логарифмов:

log⁡5(7−x3−x)=1.\log_5\left(\frac{7-x}{3-x}\right)=1.

Переходим к показательной форме:

7−x3−x=51.\frac{7-x}{3-x}=5^1.

7−x3−x=5.\frac{7-x}{3-x}=5.

Умножаем обе части на 3−x3-x:

7−x=5(3−x).7-x=5(3-x).

Раскрываем скобки:

7−x=15−5x.7-x=15-5x.

Переносим переменные влево:

4x=8.4x=8.

x=2.x=2.

Проверяем ОДЗ:

2<3.2<3.

Корень подходит.

Ответ: 2\boxed{2}

Логарифм от степени

Задача. Найдите корень уравнения

log⁡828x−4=4.\log_8 2^{8x-4}=4.

По определению логарифма:

28x−4=84.2^{8x-4}=8^4.

Представим число 88 как степень двойки:

8=23.8=2^3.

Тогда

84=(23)4=212.8^4=(2^3)^4=2^{12}.

Получаем:

28x−4=212.2^{8x-4}=2^{12}.

Приравниваем показатели:

8x−4=12.8x-4=12.

8x=16.8x=16.

x=2.x=2.

Ответ: 2\boxed{2}

Можно было рассуждать и через переход к основанию 22:

log⁡2328x−4=8x−43.\log_{2^3}2^{8x-4} = \frac{8x-4}{3}.

Тогда

8x−43=4,\frac{8x-4}{3}=4,

что также приводит к x=2x=2.

Логарифм степени с составным основанием

Задача. Найдите корень уравнения

log⁡27(35x+5)=2.\log_{27}\left(3^{5x+5}\right)=2.

Представим основание логарифма как степень числа 33:

27=33.27=3^3.

По определению логарифма:

35x+5=272.3^{5x+5}=27^2.

35x+5=(33)2.3^{5x+5}=(3^3)^2.

35x+5=36.3^{5x+5}=3^6.

Приравниваем показатели:

5x+5=6.5x+5=6.

5x=1.5x=1.

x=15=0,2.x=\frac15=0{,}2.

Ответ: 0,2\boxed{0{,}2}

Переменная в основании логарифма

Если переменная находится в основании, ограничений становится больше.

Для логарифма

log⁡f(x)g(x)\log_{f(x)}g(x)

необходимо:

f(x)>0,f(x)>0,

f(x)≠1,f(x)\ne1,

g(x)>0.g(x)>0.

Основание логарифма должно быть положительным и не должно равняться единице.

Разбор уравнения с переменным основанием

Задача. Решите уравнение

log⁡x−549=2.\log_{x-5}49=2.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Сначала выпишем ограничения для основания:

x−5>0,x-5>0,

x−5≠1.x-5\ne1.

То есть:

x>5,x>5,

x≠6.x\ne6.

По определению логарифма:

(x−5)2=49.(x-5)^2=49.

Извлекаем квадратный корень:

x−5=±7.x-5=\pm7.

Получаем два значения:

x−5=7x-5=7

или

x−5=−7.x-5=-7.

Отсюда:

x=12x=12

или

x=−2.x=-2.

Проверяем ограничения.

Число x=12x=12 подходит:

12>5,12≠6.12>5,\qquad 12\ne6.

Число x=−2x=-2 не подходит, потому что основание логарифма получилось бы отрицательным:

−2−5=−7<0.-2-5=-7<0.

Следовательно, уравнение имеет только один допустимый корень.

Ответ: 12\boxed{12}

Нельзя автоматически выбирать меньший из всех полученных чисел. Сначала нужно отбросить значения, не входящие в ОДЗ, и только потом выполнять требование условия.

Логарифмы с основаниями 22 и 12\frac12

Задача. Решите уравнение

log⁡2(x6)=log⁡0,5(x+1).\log_2\left(\frac{x}{6}\right)=\log_{0{,}5}(x+1).

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Сначала выпишем ОДЗ:

x6>0,\frac{x}{6}>0,

x+1>0.x+1>0.

Из первого условия:

x>0.x>0.

Из второго:

x>−1.x>-1.

Общее ограничение:

x>0.x>0.

Теперь преобразуем логарифм с основанием 0,50{,}5:

0,5=12=2−1.0{,}5=\frac12=2^{-1}.

Поэтому

log⁡0,5(x+1)=−log⁡2(x+1).\log_{0{,}5}(x+1)=-\log_2(x+1).

Уравнение принимает вид:

log⁡2(x6)=−log⁡2(x+1).\log_2\left(\frac{x}{6}\right) = -\log_2(x+1).

Переносим логарифм в левую часть:

log⁡2(x6)+log⁡2(x+1)=0.\log_2\left(\frac{x}{6}\right) + \log_2(x+1) = 0.

Объединяем логарифмы:

log⁡2(x(x+1)6)=0.\log_2\left(\frac{x(x+1)}{6}\right)=0.

По определению логарифма:

x(x+1)6=20.\frac{x(x+1)}{6}=2^0.

x(x+1)6=1.\frac{x(x+1)}{6}=1.

x(x+1)=6.x(x+1)=6.

x2+x−6=0.x^2+x-6=0.

Разложим на множители:

(x−2)(x+3)=0.(x-2)(x+3)=0.

Получаем:

x=2x=2

или

x=−3.x=-3.

По ОДЗ должно выполняться x>0x>0, поэтому подходит только

x=2.x=2.

Ответ: 2\boxed{2}

Когда логарифмическое уравнение не имеет корней

Рассмотрим уравнение:

log⁡3(x−1)=log⁡3(1−x).\log_3(x-1)=\log_3(1-x).

При равных основаниях хотелось бы приравнять аргументы:

x−1=1−x.x-1=1-x.

Отсюда:

2x=2,2x=2,

x=1.x=1.

Но проверим ОДЗ:

x−1>0⇒x>1,x-1>0\Rightarrow x>1,

1−x>0⇒x<1.1-x>0\Rightarrow x<1.

Эти условия не могут выполняться одновременно. Значит, исходное уравнение не имеет корней.

Логарифмическое уравнение может не иметь корней ещё до начала преобразований, если условия для аргументов противоречат друг другу.

Универсальный алгоритм логарифмического уравнения

  1. Выпиши ОДЗ:
    • каждый аргумент больше нуля;
    • каждое основание больше нуля;
    • каждое основание не равно единице.
  2. Используй определение или свойства логарифмов.
  3. Приведи уравнение к одному из видов:

log⁡af(x)=c,\log_a f(x)=c,

или

log⁡af(x)=log⁡ag(x).\log_a f(x)=\log_a g(x).

  1. Перейди к алгебраическому уравнению:

f(x)=acf(x)=a^c

или

f(x)=g(x).f(x)=g(x).

  1. Реши полученное уравнение.
  2. Проверь найденные корни по ОДЗ.
  3. Если условие просит меньший или больший корень, выбирай его только среди допустимых значений.

Как выбрать способ решения

УравнениеОсновная идея
(f(x))3=a(f(x))^3=aизвлечь кубический корень
(f(x))2=a(f(x))^2=aзаписать f(x)=±af(x)=\pm\sqrt a
f(x)=a\sqrt{f(x)}=aвозвести обе части в квадрат
f(x)=g(x)\sqrt{f(x)}=g(x)учесть g(x)⩾0g(x)\geqslant0, возвести в квадрат и проверить
f(x)3=a\sqrt[3]{f(x)}=aвозвести обе части в куб
af(x)=ag(x)a^{f(x)}=a^{g(x)}приравнять показатели
af(x)=ba^{f(x)}=bпредставить bb как степень числа aa
log⁡af(x)=c\log_a f(x)=cзаписать f(x)=acf(x)=a^c
log⁡af(x)=log⁡ag(x)\log_a f(x)=\log_a g(x)приравнять аргументы и проверить ОДЗ
log⁡f(x)a=c\log_{f(x)}a=cзаписать f(x)c=af(x)^c=a и проверить основание

Как читать условие задания

В задании №7 недостаточно просто найти корни. Нужно внимательно прочитать, что требуется записать.

Могут встретиться формулировки:

  • «Найдите корень уравнения»;
  • «Решите уравнение»;
  • «Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них»;
  • «В ответе укажите больший корень»;
  • «Найдите сумму корней»;
  • «Найдите произведение корней».

Например, если допустимые корни равны

−8-8

и

−9,-9,

то меньшим является

−9.-9.

На числовой прямой отрицательное число с большим модулем расположено левее:

−9<−8.-9<-8.

Если требуется сумма корней:

−8+(−9)=−17.-8+(-9)=-17.

Если требуется произведение:

(−8)⋅(−9)=72.(-8)\cdot(-9)=72.

Последнее действие в решении — ещё раз прочитать вопрос. Иногда вычисления выполнены правильно, но в ответ записана не та величина.

Главные ошибки в степенных уравнениях

Забывать знак ±\pm

Из уравнения

(x−2)2=16(x-2)^2=16

следует:

x−2=±4,x-2=\pm4,

а не только

x−2=4.x-2=4.

Правильные корни:

x=6x=6

и

x=−2.x=-2.

Добавлять ±\pm при нечётной степени

Из уравнения

(x+1)3=8(x+1)^3=8

следует:

x+1=2.x+1=2.

Вариант x+1=−2x+1=-2 не подходит, потому что

(−2)3=−8,(-2)^3=-8,

а не 88.

Приравнивать основания при равных квадратах только одним способом

Из равенства

A2=B2A^2=B^2

следует:

A=BA=B

или

A=−B.A=-B.

Главные ошибки в иррациональных уравнениях

Считать, что 25=±5\sqrt{25}=\pm5

Правильно:

25=5.\sqrt{25}=5.

Знак ±\pm появляется при решении уравнения

x2=25,x^2=25,

а не при вычислении арифметического квадратного корня.

Возводить в квадрат только отдельные слагаемые

Если

x+1=x−2,\sqrt{x+1}=x-2,

то после возведения в квадрат получаем:

x+1=(x−2)2,x+1=(x-2)^2,

а не

x+1=x2−4.x+1=x^2-4.

Правильно раскрываем квадрат разности:

(x−2)2=x2−4x+4.(x-2)^2=x^2-4x+4.

Не проверять знак правой части

В уравнении

f(x)=g(x)\sqrt{f(x)}=g(x)

должно выполняться:

g(x)⩾0.g(x)\geqslant0.

Не проверять полученные корни

Возведение в квадрат может добавить посторонние решения.

Считать, что кубический корень требует неотрицательного выражения

Выражение

x3\sqrt[3]{x}

определено при любом действительном xx, в том числе при отрицательном.

Главные ошибки в показательных уравнениях

Приравнивать показатели при разных основаниях

Из равенства

2x=342^x=3^4

не следует, что x=4x=4.

Сначала основания должны стать одинаковыми.

Неверно раскрывать степень степени

Правильно:

(am)n=amn.(a^m)^n=a^{mn}.

Например:

(32)x=32x,(3^2)^x=3^{2x},

а не 32+x3^{2+x}.

Ошибаться с отрицательной степенью

Правильно:

a−n=1an.a^{-n}=\frac1{a^n}.

Например:

1125=5−3.\frac1{125}=5^{-3}.

Неправильно работать с одинаковыми показателями

Правильно:

axbx=(ab)x.\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac ab\right)^x.

Именно это свойство используется в уравнениях вида

2x+3=0,4⋅5x+3.2^{x+3}=0{,}4\cdot5^{x+3}.

Главные ошибки в логарифмических уравнениях

Забывать ОДЗ

Для

log⁡5(x−3)\log_5(x-3)

обязательно:

x−3>0.x-3>0.

Нельзя допускать ни отрицательный аргумент, ни ноль.

Проверять только аргумент, но не основание

Если основание содержит переменную, нужно проверить:

a(x)>0,a(x)>0,

a(x)≠1.a(x)\ne1.

Неправильно объединять логарифмы

Правильно:

log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(xy),\log_a x+\log_a y=\log_a(xy),

log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy).\log_a x-\log_a y=\log_a\left(\frac{x}{y}\right).

Неверно:

log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x+y).\log_a x+\log_a y=\log_a(x+y).

Сокращать логарифмы с разными основаниями

Из равенства

log⁡2f(x)=log⁡3g(x)\log_2 f(x)=\log_3 g(x)

нельзя сразу сделать вывод:

f(x)=g(x).f(x)=g(x).

Аргументы можно приравнивать только у логарифмов с одинаковыми допустимыми основаниями.

Забывать, что основание не может равняться единице

Выражение

log⁡15\log_1 5

не определено.

Как выполнять проверку

Проверка особенно важна в двух случаях:

  • уравнение возводилось в чётную степень;
  • в уравнении есть логарифмы или дроби.

Для иррационального уравнения подставь найденное значение в исходную запись.

Например, если найдено x=5x=5 для уравнения

7x−31=2,\sqrt{7x-31}=2,

проверяем:

7⋅5−31=4=2.\sqrt{7\cdot5-31} = \sqrt4 = 2.

Для логарифмического уравнения часто достаточно проверить ОДЗ.

Если найдено x=2x=2 для выражения

log⁡5(3−x),\log_5(3-x),

то:

3−2=1>0.3-2=1>0.

Логарифм существует.

Если найдено x=4x=4 для дроби

1x−4,\frac{1}{x-4},

значение нужно отбросить, потому что знаменатель обращается в ноль.

Краткая памятка по степенным уравнениям

Нечётная степень:

A2k+1=B2k+1  ⟺  A=BA^{2k+1}=B^{2k+1}\iff A=B

Чётная степень:

A2k=B2k  ⟺  A=B или A=−BA^{2k}=B^{2k}\iff A=B\ \text{или}\ A=-B

Уравнение с положительной правой частью:

A2=c,c>0A^2=c,\qquad c>0

A=±cA=\pm\sqrt c

Если правая часть отрицательна:

A2k=c,c<0A^{2k}=c,\qquad c<0

действительных корней нет.

Краткая памятка по иррациональным уравнениям

Квадратный корень:

f(x)=g(x)\sqrt{f(x)}=g(x)

требует:

f(x)⩾0,g(x)⩾0.f(x)\geqslant0,\qquad g(x)\geqslant0.

После возведения в квадрат:

f(x)=g(x)2.f(x)=g(x)^2.

Кубический корень:

f(x)3=g(x)\sqrt[3]{f(x)}=g(x)

равносилен:

f(x)=g(x)3.f(x)=g(x)^3.

После возведения в чётную степень необходима проверка.

Краткая памятка по показательным уравнениям

Если

af(x)=ag(x),a^{f(x)}=a^{g(x)},

где

a>0,a≠1,a>0,\qquad a\ne1,

то

f(x)=g(x).f(x)=g(x).

Полезные свойства:

am⋅an=am+n,a^m\cdot a^n=a^{m+n},

aman=am−n,\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},

(am)n=amn,(a^m)^n=a^{mn},

a−n=1an.a^{-n}=\frac1{a^n}.

Краткая памятка по логарифмическим уравнениям

Определение:

log⁡ab=c  ⟺  ac=b.\log_a b=c\iff a^c=b.

Ограничения:

a>0,a≠1,b>0.a>0,\qquad a\ne1,\qquad b>0.

Равенство логарифмов:

log⁡af(x)=log⁡ag(x)\log_a f(x)=\log_a g(x)

приводит к:

f(x)=g(x),f(x)=g(x),

но только при положительных аргументах.

Свойства:

log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay,\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,

log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay,\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y,

log⁡a(xk)=klog⁡ax.\log_a(x^k)=k\log_a x.

Итог

Задание №7 проверяет не способность запомнить десятки отдельных решений, а умение распознать тип уравнения и применить подходящее преобразование.

Степенное уравнение обычно сводится к извлечению корня:

(f(x))n=a.(f(x))^n=a.

Иррациональное уравнение требует убрать знак корня:

f(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=g(x).

Показательное уравнение нужно привести к одинаковым основаниям:

af(x)=ag(x).a^{f(x)}=a^{g(x)}.

Логарифмическое уравнение решается с помощью определения логарифма, его свойств и обязательного учёта ОДЗ:

log⁡ab=c  ⟺  ac=b.\log_a b=c\iff a^c=b.

Минимальный набор, который нужно знать уверенно:

  • различие между степенным и показательным уравнением;
  • правила для чётных и нечётных степеней;
  • значение знака ±\pm;
  • условие существования квадратного корня;
  • необходимость проверки после возведения в квадрат;
  • свойства степеней;
  • способы приведения степеней к одному основанию;
  • определение логарифма;
  • свойства суммы и разности логарифмов;
  • ограничения на аргумент и основание логарифма;
  • правила работы с переменным основанием;
  • требования «укажите меньший корень» или «найдите сумму корней».

Простейшие уравнения = распознать тип + выполнить правильное преобразование + решить обычное уравнение + проверить ограничения.

И последний практический совет: перед началом вычислений задай себе четыре вопроса.

  1. Где находится переменная?
  2. Какое преобразование уберёт корень, степень или логарифм?
  3. Есть ли ограничения на допустимые значения?
  4. Что именно нужно записать в ответ?

Если ответы на эти вопросы найдены, большая часть решения уже построена.