Тип 26 № 12431

Обоснование:

1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Так как стержень жесткий и легкий, то силы натяжения, действующие на каждый шарик, равны по модулю $T_1=T_2=T$.
3. Для описания стержня будем применять модель твердого тела, это означает что форма и размеры тела неизменны, расстояние между двумя точками тела остается неизменным.
4. Любое движение твердого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений. Поэтому к телу применимо два условия равновесия твердого тела в ИСО: для поступательного движения и для вращательного движения

Решение:
Для начала изобразим все силы действующие на шарики, а именно на них действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила натяжения стержня, а на нижний ещё и сила трения.

Так как гантеля находится в состоянии покоя, то согласно первому условию равновесия в проекции на вертикальную ось $Oy$ и горизонтальную ось $Oy$, получим:
$$Ox: \quad N_1-F_\text{тр}=0 \Rightarrow N_1=F_\text{тр}$$ $$Oy: \quad N_2-Mg-mg=0\Rightarrow N_2=(M+m)g$$ Тогда чтобы тело находилось в покое, то $N_1=F_\text{тр}\leq\mu N_2=\mu g(M+m)$.
Теперь запишем правило моментов приложенных сил относительно оси, проходящей через центр нижнего шара, обозначив длину стержня через $L$:
$$N_1L\sin{\alpha}=mgL\cos{\alpha}$$ И учитывая, что $\alpha=45^\circ$, получим: $$N_1=mg$$ Тогда учитывая полученное ранее неравенство, справедливо следующее: $$mg\leq\mu g(M+m)$$ $$\Downarrow$$ $$m\leq\frac{\mu M}{1-\mu}=\frac{120\cdot0.4}{1-0.4}=80\,\text{г}$$