Маленькие шарики, имеющие массы M и m = 60 г, соединены друг с другом стержнем пренебрежимо малой массы. Полученная гантель помещена в неподвижную сферическую выемку радиусом R так, что шарик M находится в нижней точке выемки, а шарик m касается стенки выемки на высоте R от этой точки (см. рис.). Коэффициент трения между шариком M и дном выемки μ = 0,3, трение между шариком m и стенкой выемки отсутствует. При каких значениях M гантель покоится в показанном на рисунке положении? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на гантель. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение:
Обоснование:
- Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
- Так как стержень жесткий и легкий, то силы натяжения, действующие на каждый шарик, равны по модулю .
- Для описания стержня будем применять модель твердого тела, это означает что форма и размеры тела неизменны, расстояние между двумя точками тела остается неизменным.
- Любое движение твердого тела является суперпозицией поступательного и вращательного движений. Поэтому к телу применимо два условия равновесия твердого тела в ИСО: для поступательного движения и для вращательного движения
Решение:
Для начала изобразим все силы действующие на шарики, а именно на них действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила натяжения стержня, а на нижний ещё и сила трения.
Исходя из первого условия равновесия, сумма сил, действующих на гантель в состоянии равновесия, равна нулю; запишем это в проекциях на оси и :
Отсюда , а ; следовательно, .
Запишем условие равновесия моментов всех сил относительно оси, проходящей через нижнюю точку:
С учётом того, что , получаем .
В результате имеем неравенство откуда выражается минимальная масса нижнего шарика:
Подставляя числа, получаем