Вписанные и описанные окружности в четырёхугольниках

В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ тупой, $H$ - точка пересечения продолжений высот, угол $AHC$ равен $60^\circ$.

а) Докажите, что угол $ABC$ равен $120^\circ$.

б) Найдите $BH$, если $AB=7$ и $BC=8$.

ЕГЭ 2019

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R = 8$. Известно, что $AB = BC = CD = 12$.

а) Докажите, что прямая $BC$ параллельна $AD$.

б) Найдите $AD$.

Квадрат $ABCD$ со стороной $a$ вписан в окружность. Хорда $CE$ пересекает его диагональ $BD$ в точке $K$.

а) Докажите, что $CE \cdot CK = a^2$.

б) Найдите отношение $BK$ к $KE$, если $\angle BKC = 60^\circ$.

Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно в точках $F$, $K$ и $P$.

а) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD$.

б) Найдите площадь ромба $ABCD$, если известно, что $FP = 6$ и $PK = 8$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) высота $CH$. На гипотенузе $AB$ отмечена точка $P$ так, что $AH=BP$. Перпендикуляр к $AB$ в точке $P$ пересекает описанную окружность в точках $Q$ и $T$.

a) Докажите, что $ACQB$ — равнобокая трапеция.

б) Найдите длину хорды $QT$, если известно, что $CQ=5$.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а окружность, описанную около треугольника $ABC$, — в точке $M$.

а) Докажите, что треугольник $BMC$ равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KMC$, если $AC = 6$, $BC = 7$, $AB = 8$.

В четырёхугольник $ KLMN $ вписана окружность с центром $ O $. Эта окружность касается стороны $ MN $ в точке $ A $. Известно, что $\angle MNK = 90^\circ, \quad \angle NKL = \angle KLM = 120^\circ.$

a) Докажите, что точка $ A $ лежит на прямой $ LO $.

б) Найдите длину стороны $ MN $, если $ LA = 3 $.

В четырёхугольник $ KLMN $ вписана окружность с центром $ O $. Эта окружность касается стороны $ MN $ в точке $ A $. Известно, что $\angle MNK = 90^\circ, \quad \angle NKL = \angle KLM = 120^\circ.$

a) Докажите, что точка $ A $ лежит на прямой $ LO $.

б) Найдите длину стороны $ MN $, если $ LA = 1 $.

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK = 90^\circ, \quad \angle NKL = \angle KLM = 120^\circ.$

a) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.

б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA = \sqrt3$.

Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $M$. Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма пересекаются в точке $O$. Окружность, описанная вокруг треугольника $ABM$, касается прямых $BC$ и $OM$.

а) Докажите, что $AB \perp BD$.

б) Отрезки $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь четырехугольника $KODM$, если $OM$ = 2.