Центр

В треугольнике $ABC$ $AD$ — биссектриса, угол $C$ равен $50^\circ$, угол $CAD$ равен $28^\circ$. Найдите угол $B$. Ответ дайте в градусах.

Решение:

$$\angle A = 2\angle CAD = 56^\circ$$ $$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 56^\circ - 50^\circ = 74^\circ$$

Ответ: $74$

Даны векторы $\vec a =(1; 2)$, $\vec b =(-3; 6)$ и $\vec c =(4; -2)$. Найдите длину вектора $\vec a - \vec b + \vec c$.

Площадь поверхности шара равна 24. Найдите площадь большого круга шара.

Источник: БАНК ФИПИ.

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Источник: Банк ФИПИ

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Источник: ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна.

Найдите корень уравнения $16^{x - 9} = \frac{1}{2}$

Найдите значение выражения $\log_31,8 + \log_35$

На рисунке изображён график ${y=f'\left(x\right)}$ — производной функции $f\left(x\right)$, определённой на интервале $\left(-18; 6\right)$. Найдите количество точек минимума функции $f\left(x\right)$, принадлежащих отрезку $\left[-13;1\right]$.

Источник: ЕГЭ 2025. Основная волна. Центр

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $ a = 5000 , \text{км/ч}^2 $. Скорость $ v $ (в км/ч) вычисляется по формуле $ v = \sqrt{2la} $, где $ l $ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $ 100 , \text{км/ч} $.

Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта $А$ в пункт $В$, расположенный в 36 км от $А$. Пробыв 2 часа в пункте $В$, катер отправился назад и вернулся в пункт $А$ в 17:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/час), если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

На рисунке изображены графики функций $f(x) = \frac{k}{x}$ и $g(x) = ax + b$ которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

Найдите точку максимума функции $y= x^3 -48x + 17$.

а) Решите уравнение: $$2-2\cos^2x+\sqrt3\,\sin x=\sqrt3-2\sin(x+\pi).$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right].$$

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 5MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC A_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

Решите неравенство $\frac{x^3 - x^2 - x + 1}{4^{x^2} -16\cdot2^{x^2} + 64} \leq 0$

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно $r$, если общая сумма платежей в 2031 году составила 3951 тысячу рублей?

Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $M$. Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма пересекаются в точке $O$. Окружность, описанная вокруг треугольника $ABM$, касается прямых $BC$ и $OM$.

а) Докажите, что $AB \perp BD$.

б) Отрезки $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь четырехугольника $KODM$, если $OM$ = 2.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$$(|x- a - 2| + |x - a + 2|)^2 -a (| x- a - 2| + |x - a + 2|) + a^2 - 64= 0$$

имеет ровно два различных корня.

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 563 и 1417?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 563?

в) Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $n^2$. $(n \neq 1)$.