Сибирь

a) Решите уравнение

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-2\sqrt{2}\sin(\pi-x)=0.$$

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right].$$

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $SD$, точка $K$ — середина $SA$.

а) Докажите, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^\circ$ и $AB=6$.

Решить неравенство:

$5^{\log_{5}(9-x^2)}+x^4-29\ge 0$

планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:

-- 1 января каждого года долг увеличивается на 12% по сравнению с концом предыдущего года;

-- со 2 по 14 января каждого года необходимо внести один платёж;

-- 15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму по сравнению с долгом на 15 января предыдущего года;

-- 15 января 2030 года, то есть после третьего платежа, долг должен стать на 50% меньше, чем 15 января 2029 года;

-- к 15 января 2032 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма всех выплат составила 4,08 млн рублей.

Найдите первоначальную сумму кредита.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) высота $CH$. На гипотенузе $AB$ отмечена точка $P$ так, что $AH=BP$. Перпендикуляр к $AB$ в точке $P$ пересекает описанную окружность в точках $Q$ и $T$.

a) Докажите, что $ACQB$ — равнобокая трапеция.

б) Найдите длину хорды $QT$, если известно, что $CQ=5$

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(x-2)a^2-(x^3-x^2-4)a+x^4-4x^2=0$$ имеет ровно 2 решения.

Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой карточке написано натуральное число. Среднее арифметическое всех чисел равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое число на красной. Числа на синих карточках увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое всех чисел стало равно 31{,}2.

a) Может ли быть 10 синих карточек?

б) Может ли быть 10 красных карточек?

в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?