Санкт-Петербург, Москва, Центр

а) Решите уравнение

$$2\sin 2x+2\sin(-x)+2\cos(-x)-1=0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right].$$

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на диагонали $BD_1$ отмечена точка $N$ так, что

$$BN:ND_1=1:2.$$

Точка $O$ — середина отрезка $CB_1$.

а} Докажите, что прямая $NO$ проходит через точку $A$.

б) Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если длина отрезка $NO$ равна расстоянию между прямыми $BD_1$ и $CB_1$ и равна $\sqrt6$.

Решите неравенство:

$$5^x-\frac{600}{5^x-1}\geq0.$$

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:

-- каждый январь долг будет возрастать на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

-- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-- платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей;

-- к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2029 году будет равен 860,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

а стороне острого угла с вершиной $A$ отмечена точка $B$. Из точки $B$ на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры $BC$ и $BD$ соответственно.

а) Докажите, что

$$AC^2+CD^2=AD^2+DB^2.$$

б) Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $T$. Найдите отношение $AT:TC$, если

$$\cos\angle ABC=\frac27.$$

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$a^2-9x^2+18|x|-9=0$$ имеет ровно два различных корня.

На доске написано $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 159. Для любых двух написанных на доске чисел $a$ и $b$, таких, что $a<b$, ни одно из написанных чисел не делится на $b-a$, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа $b-a$.

а) Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 28, 29 и 30?

б) Среди написанных на доске чисел есть 13. Может ли $N$ быть равно 20?

в) Найдите наибольшее значение $N$.