Санкт-Петербург, Москва, Центр

а) Решите уравнение

$$2\sin 2x+2\sin(-x)-2\cos(-x)+1=0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right].$$

В кубе $A B C D A_1 B_1 C_1 D_1$ точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $A B$ и $A D$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $B_1 N$ и $C M$ перпендикулярны.

б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$, причём она параллельна прямой $C M$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если известно, что $B_1 N = 6$.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Решите неравенство $5^x + \frac{125}{5^x - 126} \geq0$

Источник: Основная волна ЕГЭ-2022

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:

-- каждый январь долг будет возрастать на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

-- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-- платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей;

-- к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2029 году будет равен 860,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

На стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $M$ такая, что $AM=MC$.

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник $AMD$ окружности лежит на диагонали $AC$.

б) Найдите радиус вписанной в треугольник $AMD$ окружности, если $AB=7, BC=21, \angle BAD=60^\circ$.

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система $$\begin{cases} (xy -x + 7)(y - x + 7) = 0\\ y = 3x + a \end{cases}$$ имеет ровно 2 различных решения.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2022

С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 201?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 251?

в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 600 до 999 включительно?