Тип 16 № 11223

Сделаем замену $5^x = t > 0$

Имеем:

$$t + \frac{125}{t - 126} \geq0$$ Приведём всё к общему знаменателю: $$t + \frac{125}{t - 126} \geq0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 126t + 125}{t - 126} \geq 0$$ Заметим, что сумма коэффициентов квадратичной функции в числителе равна 0. Отсюда делаем вывод, что один из корней числителя равен $1$, а второй $\frac{125}{1} = 125$: $$\frac{(t - 1)(t - 125)}{t - 126} \geq 0$$

Решение данного неравенства равносильно совокупности:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} t \geq 1 \\ t \leq 125 \end{cases}\\ &t > 126 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} 5^x \geq 1 \\ 5^x \leq 125 \end{cases}\\ &5^x > 126 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq 0 \\ x \leq 3 \end{cases}\\ &x > \log_5126 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in [0; 3] \cup (\log_5126; +\infty)$