Санкт-Петербург

а) Решите уравнение

$$2\tg^2 x+\frac{5}{\cos x}+4=0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right].$$

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами

$$AB=5,\qquad BC=12.$$ Длины боковых рёбер пирамиды равны

$$SA=2\sqrt{14},\qquad SB=9,\qquad SD=10\sqrt2.$$

а) Докажите, что $SA$ является высотой пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.

Решите неравенство

$$\frac{ \log_2\left(2x^2-13x+20\right)-1 }{ \log_3(x+7) } \leq 0.$$

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо одним платежом выплатить часть долга;

• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 17,5 млн рублей?

В острогольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.

б) Найдите отношение $EH$ и $AC$, если $\angle ABC = 60^\circ$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\left(1-(x+2a+1)^2\right)^3 - \left(1-(x+2a+1)^2\right)^2 = 3^{3|x-2a|}-3^{2|x-2a|}$$ имеет хотя бы один корень.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в три раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в шесть раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.