Тип 14 № 20841

Решение.

а) Решим уравнение: $$\begin{aligned} 2\tg^2 x+\frac{5}{\cos x}+4=0 &\Longleftrightarrow 2\cdot\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} +\frac{5}{\cos x}+4=0 \\ &\Longleftrightarrow \begin{cases} 2\cos^2 x+5\cos x+2=0,\\ \cos x\ne 0. \end{cases} \end{aligned}$$

Решая квадратное уравнение относительно $\cos x$, получаем

$$\left[ \begin{aligned} \cos x&=-2,\\ \cos x&=-\frac12. \end{aligned} \right.$$

Равенство $\cos x=-2$ невозможно. Следовательно,

$$\cos x=-\frac12 \Longleftrightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z.$$

б) Найдём корни, лежащие в заданном отрезке, решая двойные неравенства:

Для $x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$: $$3\pi \leq \frac{2\pi}{3}+2\pi k \leq \frac{9\pi}{2} \Longleftrightarrow \frac{7\pi}{3}\leq 2\pi k\leq\frac{23\pi}{6} \Longleftrightarrow \frac{7}{6}\leq k\leq\frac{23}{12}.$$

Неравенство не имеет решений в целых числах.

Для $x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k$: $$3\pi \leq -\frac{2\pi}{3}+2\pi k \leq \frac{9\pi}{2} \Longleftrightarrow \frac{11\pi}{3}\leq 2\pi k\leq\frac{31\pi}{6} \Longleftrightarrow \frac{11}{6}\leq k\leq\frac{31}{12}.$$

Из этого неравенства получаем $k=2$. Тогда

$$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot 2 =\frac{10\pi}{3}.$$

$$Ответ: а) \left\{\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\right\}; \quad б) \frac{10\pi}{3}.$$