Разные города

а) Решите уравнение

$$\sin 2x-\sqrt{3}\cos(\pi-x)=0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right].$$

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ стороны основания $ABC$ равны $12$, а боковые рёбра равны $25$.

На рёбрах $AB$, $AC$ и $SA$ отмечены точки $F$, $E$ и $K$ соответственно. Известно, что

$$AE=AF=10,\qquad AK=15.$$

а) Докажите, что объём пирамиды $KAEF$ составляет

$$\frac{5}{12}$$ от объёма пирамиды $SABC$.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $KEF$.

Решите неравенство: $\frac{2\cdot8^{x - 1}}{2\cdot8^{x - 1} - 1} \geq \frac{3}{8^{x} - 1} + \frac{8}{64^x - 5\cdot8^x + 4}$

В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами, то есть за три года, а общая сумма выплат после полного погашения кредита на $40\,980$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что

$$AB=CD=5,\qquad BC=DE=8.$$

а) Докажите, что

$$AC=CE.$$

б) Найдите длину диагонали $BE$, если

$$AD=10.$$

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система

$$\begin{cases} \bigl(x^2+3x+y-4\bigr)(x-y+4)\geq0,\\ ax-y-2a+3=0,\\ x\leq0 \end{cases}$$ имеет хотя бы одно решение.

На столе лежат $4$ камня по $7$ кг и $9$ камней по $22$ кг. Их разделили на две кучки.

а) Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна $8$ кг?

б) Могут ли массы двух этих кучек быть равны?

в) Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней?