Дальний Восток

a) Решите уравнение: $2\cos ^3 x = \sqrt3\sin^2 x + 2\cos x$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$

Дана прямая призма $ABC A_1B_1C_1$. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. На отрезке $AB$ отмечена точка $P$ так, что $AP:PB=3:1$. Точка $Q$ делит пополам ребро $B_1C_1$. Точка $M$ делит пополам ребро $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная $PQ$.

a) Доказать, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

б) Найти отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, если $AA_1=5$, $AB=12$ и $\cos\angle ABC=\tfrac{3}{5}$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Решите неравенство $\log_{25}((x - 4)(x^2 - 2x - 8)) + 1 \geq 0,5\log_5(x - 4)^2$

В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18$\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16$\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тысяч рублей?

Дан ромб $ABCD$. Прямая, перпендикулярная стороне $AD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, диагональ $BD$ --- в точке $N$, причем $AM : MC = 1 : 2$, $BN : ND = 1 : 3$.

а) Докажите, что $\cos \angle BAD = 0,2$.

б) Найдите площадь ромба, если $MN = 5$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases} (xy - x + 8)\sqrt{y - x + 8} = 0\\ y=2x + a \end{cases}$$ Имеет ровно два различных решения.

На доске написано трёхзначное число $A$. Серёжа зачеркивает одну цифру и получает двузначное число $B$, затем Коля записывает число $A$ и зачёркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число $C$.

а) Может ли быть верным уравнение $A = B \cdot C$ если $A > 140$.

б) Может ли быть верным уравнение $A = B \cdot C$ если $440 \le A < 500$.

в) Найдите наибольшее число $A$ до $900$ для которого выполняется $A = B \cdot C$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна