Угол между прямой и плоскостью

В основании четырёхугольной пирамиды $MABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 4$, $AD = 15$. При этом известны длины некоторых боковых рёбер: $MA = \sqrt{26}$, $MB = \sqrt{10}$, $MC = \sqrt{235}$.

а)Докажите, что $MB$ — высота пирамиды $MABCD$.

б) Найдите угол между прямой $MD$ и плоскостью $ABM$.

Источник: Банк ЕГЭ

В основании прямой треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Точка $M$ — середина ребра $AC$, а точка $K$ — середина ребра $A_1 B_1$.

а) Докажите, что прямая $K M$ перпендикулярна прямой $AC$.

б) Найдите угол между прямой $K M$ и плоскостью $A B B_1$, если $AB = 8$, $AC = 12$ и $A A_1 = 5$.

Источник: Основная волна 2019

В пирамиде $SABC$ известны длины рёбер: $$AB=AC=\sqrt{29},\qquad BC=SA=2\sqrt{5},\qquad SB=SC=\sqrt{13}.$$ а) Доказать, что прямая $SA$ перпендикулярна прямой $BC$.

б) Найти угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

В правильной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$ боковое ребро равно $\sqrt{3}$, а сторона основания равна $2$. Через точку $A_1$, перпендикулярно плоскости $AB_1D_1$, проведена прямая $l$.

а)Докажите, что прямая $l$ пересекает отрезок $AC$ и делит его в отношении $3:1$.

б)Найдите угол между прямыми $l$ и $CB_1$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

В правильной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$ боковое ребро равно $2$, а сторона основания равна $\sqrt{6}$. Через точку $A_1$, перпендикулярно плоскости $(AB_1D_1)$, проведена прямая $l$.

а)Докажите, что прямая $l$ пересекает отрезок $AC$ и делит его в отношении $2:1$.

б)Найдите угол между прямыми $l$ и $CD_1$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

Основанием правильной треугольной пирамиды $PABC$ является треугольник $ABC$, при этом $AP = 1{,}3AB$. Через точку $A$ перпендикулярно апофеме грани $BCP$ проведена плоскость $\alpha$.

а)Докажите, что плоскость $\alpha$ делит апофему грани $BCP$ в отношении $119 : 25$, считая от точки $P$.

б)Найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $SD$, точка $K$ — середина $SA$.

а) Докажите, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^\circ$ и $AB=6$.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток