Угол между плоскостями

В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Основанием высоты $SO$ этой пирамиды является середина ребра $AB$.

a) Докажите, что $SA=SC$.

б) Найдите угол между плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$, если $AC=16$, $AB=20$, $SA=26$.

Источник: ЕГЭ 2025, досрочная волна

Дан тетраэдр $ABCD$. На ребре $AC$ выбрана точка $K$ так, что $AK : KC = 3:7$. Также на рёбрах $AD$, $BD$ и $BC$ выбраны точки $L$, $M$ и $N$ соответственно так, что $KLMN$ — квадрат со стороной $3$

а) Докажите, что рёбра $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $KLMN$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $100$

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

В треугольной пирамиде $SABC$ точка $E$ — середина ребра $SA$, точка $F$ — середина ребра $SB$, $O$ — точка пересечения медиан в $\triangle ABC$.

a) Докажите, что плоскость $CEF$ делит отрезок $SO$ в отношении $3:2$, считая от точки $S$.

б) Найдите косинус угла между плоскостями $CEF$ и $EHF$, если $H$ — середина ребра $SC$, пирамида $SABC$ — правильная, $S_{\triangle ABC} = 27\sqrt{3}$, $SB = 10$.

Источник: Банк ЕГЭ

Все рёбра правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ имеют длину $6$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AA_1$ и $A_1C_1$ соответственно.

а) Доказать, что прямые $BM$ и $MN$ перпендикулярны.

б) Найти угол между плоскостями $BMN$ и $ABB_1$.

Источник:Демонстрационная версия ЕГЭ 2016-2023

Дана четырёхугольная пирамида $SABCD$, в основании которой лежит прямоугольник $ABCD$. Основанием высоты пирамиды является точка пересечения диагоналей основания. Известно, что $AB=2\sqrt{3}$, $BC=2\sqrt{6}$. Из точек $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB$.

а) Докажите, что $P$ — середина $BQ$.

б) Найдите угол между гранями $SBA$ и $SBC$, если $AS=6$.