Теорема Менелая

Прямая, проходящая через середину $M$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CM$ и пересекает катет $AC$ в точке $K$. При этом $AK:KC=1:2$.

а) Докажите, что $\angle BAC = 30^\circ$.

б) Пусть прямые $MK$ и $BC$ пресекаются в точке $P$, а прямые $AP$ и $BK$ — в точке $Q$. Найдите $KQ$, если $BC=\sqrt{21}$.

Точки $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах соответственно $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$, причём $\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AC_1}{C_1B}$. Прямые $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что прямая $AO$ делит пополам сторону $BC$.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника $AB_1OC_1$ к площади треугольника $ABC$, если известно, что $\frac{AB_1}{B_1C} = \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{1}{4}$.