Тип 16 № 20983

Решение:

Заметим, что $$1.5 = \frac{3}{2}, \qquad 3.375 = \frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$$ Тогда числитель: $$1.5^x - 3.375 = \left(\frac{3}{2}\right)^x - \left(\frac{3}{2}\right)^3$$

Преобразуем знаменатель. Имеем: $$0.25^x = \left(\frac{1}{4}\right)^x = 2^{-2x}, \qquad 0.5^{x - 3.5} = 2^{-(x - 3.5)} = 2^{-x + 3.5}$$ Введём замену $t = 0.5^x = 2^{-x} > 0$. Тогда $$0.25^x = t^2, \qquad 0.5^{x - 3.5} = t \cdot 2^{3.5}$$ Знаменатель принимает вид: $$t^2 - 2^{3.5}t + 32$$ Заметим, что $$2^{3.5} = 2^{\frac{7}{2}}, \qquad (2^{3.5})^2 = 2^7 = 128 = 4 \cdot 32$$ Следовательно, дискриминант этого квадратного трёхчлена равен нулю: $$D = (2^{3.5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 128 - 128 = 0$$ Значит, знаменатель является полным квадратом: $$t^2 - 2^{3.5}t + 32 = \left(t - 2^{2.5}\right)^2$$ Возвращаясь к переменной $x$: $$0.25^x - 0.5^{x - 3.5} + 32 = \left(0.5^x - 2^{2.5}\right)^2$$ При этом $$2^{2.5} = 2^{\frac{5}{2}}$$

Таким образом, исходное неравенство равносильно: $$\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^x - \left(\frac{3}{2}\right)^3}{\left(0.5^x - 2^{2.5}\right)^2} \leq 0$$

По методу рационализации: $$\frac{x - 3}{(x + 2,5)^2} \leq 0$$

Ответ: $(-\infty; -2.5) \cup (-2.5; 3]$.