Тип 15 № 20982

Решение:

а) Обозначим за $N$ и $Q$ середины ребёр $A_1D_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Отсюда $DN || B_1K$ и $QB || A_1M$. Прямые $QN$, $DB$, $D_1B_1$ попарно параллельны. Отсюда следует, что точки $NQBD$ лежат в одной плоскости, плоскости $\alpha$, так как она проходит через точку $B$ и содержит в себе прямые, параллелльные прямым $A_1M$ и $B_1K$.

б) Так как $N$ и $Q$ середины рёбер $A_1B_1$ и $A_1D_1$, отрезки $ND_1$ и $QB_1$ равны, откуда треугольники $DD_1N$ и $QB_1B$ равны по двум катетам.

Отсюда следует, что $ND = QB = \sqrt{(BB_1)^2 + (QB_1)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt5$. Тогда сечение $DNQB$ -- равнобедренная трапеция.

Найдём её площадь по формуле:

$$S_{DNQB} = \frac{NQ + DB}{2}\cdot h$$

Пусть $QG = h$ -- высота трапеции $DNQB$.

По свойству равнобедренной трапеции:

$$GB = \frac{DB - NQ}{2}$$

$DB$ -- диагональ грани куба. Рёбра куба равны $2$, тогда $DB = 2\sqrt2$.

$NQ$ -- средняя линяя треугольника $D_1B_1$. Тогда $NQ = \frac{D_1B_1}{2} = \frac{2\sqrt2}{2} = \sqrt2$

Тогда $GB = \frac{DB - NQ}{2} = \frac{2\sqrt2 - \sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{2}$

По теореме пифагора из треугольника $QGB$: $$QG = \sqrt{QB^2 - GB^2} = \sqrt{(\sqrt5)^2 - \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2} = \sqrt{5 - \tfrac{1}{2}} = \frac{3\sqrt2}{2}$$

Найдём площадь сечение:

$$S_{DNQB} = \frac{NQ + DB}{2}\cdot h = \frac{\sqrt2 + 2\sqrt2}{2}\cdot \frac{3\sqrt2}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$$

Ответ: 4,5