Тип 16 № 20871

Решение. Упростим числитель и знаменатель: $$3^{2-x} = \frac{9}{3^x}$$ Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{2t - \frac{90}{t}}{t - \frac{9}{t}} \geq 1$$ Умножим числитель и знаменатель на $t$: $$\frac{2t^2 - 90}{t^2 - 9} \geq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{2t^2 - 90 - (t^2 - 9)}{t^2 - 9} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 81}{t^2 - 9} \geq 0$$ Разложим числитель и знаменатель на множители: $$\frac{(t - 9)(t + 9)}{(t - 3)(t + 3)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; -9) \cup (-3; 3) \cup [9; +\infty)$$ Учитывая, что $t = 3^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t < 3 \\ &t \geq 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x < 3 \\ &3^x \geq 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x < 1 \\ &x \geq 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$