Тип 18 № 20805

а) Треугольник $AOH$ равнобедренный и трапеция $ABCD$ равнобедренная, поэтому $$\angle AHO=\angle OAH=\angle CDA.$$ Значит, прямые $OH$ и $CD$ параллельны, а так как $OQ$ — средняя линия трапеции, то параллельные прямые $OQ$ и $AD$. Противоположные стороны четырёхугольника $DQOH$ попарно параллельны, следовательно, $DQOH$ — параллелограмм.

б) Пусть окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$ касается стороны $CD$ в точке $P$. В прямоугольных треугольниках $OPQ$ и $AHB$ имеем

$$OQ=\frac{OP}{\sin\angle OQP}=\frac{R}{\sin 60^\circ}=\frac{2R}{\sqrt3},$$ $$AH=AB\cos\angle BAH=2R\cos60^\circ=R.$$

Поэтому $$\frac{AH}{DH}=\frac{AH}{OQ}= \frac{R}{\frac{2R}{\sqrt3}}= \frac{\sqrt3}{2}.$$

Пусть $AH=x$. Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, $$AD=2AH+BC,$$ $$DH=AH+BC=x+2.$$

Тогда $$\frac{AH}{DH}=\frac{x}{x+2}=\frac{\sqrt3}{2},$$ откуда $$x=\frac{2\sqrt3}{2-\sqrt3}.$$

Значит, $$AD=2x+2 = \frac{4+2\sqrt3}{2-\sqrt3} = 14+8\sqrt3.$$

$$\text{Ответ: б) } 14+8\sqrt3.$$