Тип 16 № 20760

Решение:

Пусть $t = 3^x > 0$. Тогда: $$27^{x+\frac{1}{3}} = 3^{3x+1} = 3t^3, \quad 9^x = t^2, \quad 9^{x+\frac{1}{2}} = 3t^2, \quad 3^{x+1} = 3t.$$ Подставим: $$\frac{3t^3 - 10t^2 + 10t - 5}{3t^2 - 10t + 3} \leq t + \frac{1}{t-2} + \frac{1}{3t-1}.$$

Разложим знаменатель: $3t^2 - 10t + 3 = (3t-1)(t-3)$.
Разделим числитель на знаменатель с остатком: $$\frac{3t^3 - 10t^2 + 10t - 5}{3t^2 - 10t + 3} = t + \frac{7t - 5}{(3t-1)(t-3)}.$$ Тогда неравенство становится: $$t + \frac{7t - 5}{(3t-1)(t-3)} \leq t + \frac{1}{t-2} + \frac{1}{3t-1}.$$ $$\frac{7t - 5}{(3t-1)(t-3)} \leq \frac{1}{t-2} + \frac{1}{3t-1}.$$ Приводим правую часть к общему знаменателю: $$\frac{7t - 5}{(3t-1)(t-3)} \leq \frac{4t - 3}{(t-2)(3t-1)}.$$ Переносим всё в одну сторону: $$\frac{7t - 5}{(3t-1)(t-3)} - \frac{4t - 3}{(t-2)(3t-1)} \leq 0.$$ Общий знаменатель: $(3t-1)(t-3)(t-2)$. Числитель: $$(7t-5)(t-2) - (4t-3)(t-3) = 3t^2 - 4t + 1 = (3t-1)(t-1).$$ Получаем: $$\frac{(3t-1)(t-1)}{(3t-1)(t-3)(t-2)} \leq 0.$$ Сокращаем на $3t-1$ (при $t \neq \frac13$): $$\frac{t-1}{(t-3)(t-2)} \leq 0.$$

Решаем методом интервалов:

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 0] \cup (\log_3 2; 1)$.