Тип 16 № 11188

Сделаем замену $8^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{\frac{1}{4}t}{\frac{1}{4}t - 1} \geq \frac{3}{t - 1} + \frac{8}{t^2 - 5t + 4} \Leftrightarrow \frac{t}{t - 4} \geq \frac{3}{t - 1} + \frac{8}{(t - 1)(t - 4)}$$ $$\frac{t(t - 1) - 3(t - 4) - 8}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{t^2 - t - 3t + 12 - 8}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 4t + 4}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 2)^2}{(t - 1)(t - 4)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$\left[\begin{aligned} &t > 4 \\ &t = 2 \\ &\begin{cases} t > 0 \\ t < 1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &8^x > 4 \\ &8^x = 2 \\ &\begin{cases} 8^x > 0 \\ 8^x < 1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &8^x > 8^{\frac{2}{3}} \\ &8^x = 8^{\frac{1}{3}} \\ &\begin{cases} 8^x > 0 \\ 8^x < 8^0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x > \frac{2}{3} \\ &x = \frac{1}{3} \\ &x < 0 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup \left\{\frac{1}{3}\right\} \cup \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)$