Тип 16 № 11145

Сделаем замену $2^x = t > 0$, $t \neq 5$, $t \neq 8$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^2 + 2t - 36}{t - 5} + \frac{4t^2 - 32t + 4}{t - 8} \leq 5t + 7$$

Выделим целые части:

Первая дробь: $$\frac{t^2 + 2t - 36}{t - 5} = t + 7 + \frac{-1}{t - 5}$$ Вторая дробь: $$\frac{4t^2 - 32t + 4}{t - 8} = 4t + \frac{4}{t - 8}$$

Подставим упрощенные выражения обратно в неравенство: $$t + 7 - \frac{1}{t - 5} + 4t + \frac{4}{t - 8} \leq 5t + 7$$ $$5t + 7 - \frac{1}{t - 5} + \frac{4}{t - 8} \leq 5t + 7$$

Перенесем все слагаемые в левую часть: $$- \frac{1}{t - 5} + \frac{4}{t - 8} \leq 0$$ $$\frac{-(t - 8) + 4(t - 5)}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{-t + 8 + 4t - 20}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{3t - 12}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0$$ $$\frac{3(t - 4)}{(t - 5)(t - 8)} \leq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; 4] \cup (5; 8)$$

Учитывая, что $t = 2^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t \leq 4 \\ &5 < t < 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2^x \leq 4 \\ &5 < 2^x < 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 2 \\ &\log_2 5 < x < 3 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup (\log_2 5; 3)$