Расстояние между точкой/прямой/плоскостью

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 24$ и $BC = 4\sqrt{2}$. Длины боковых рёбер пирамиды: $$SA = 7,\quad SB = 25,\quad SD = 9.$$

а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC)$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=\sqrt{5}$ и $BC=2$. Длины боковых рёбер пирамиды: $$SA=\sqrt{7},\qquad SB=2\sqrt{3},\qquad SD=\sqrt{11}.$$

а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC)$.

Источник: БАНКЕГЭ

В прямоугольном параллелепипеде $ACBDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_{1} = 6$. Через точки $B_{1}$ и $D$ параллельно $AC$ проведена плоскость, пересекающая ребро $CC_{1}$ в точке $K$.

а) Докажите, что $K$ — середина $CC_{1}$.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.

Источник: ЕГЭ 2024, досрочная волна

В основании прямой призмы $ABC A_{1}B_{1}C_{1}$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP : PB = 1 : 3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_{1}C_{1}$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную отрезку $PQ$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $$AB = AA_{1},\qquad AB : BC = 2 : 7.$$

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Дан тетраэдр $ABCD$. На ребре $AC$ выбрана точка $K$ так, что $AK:KC=3:7$. Также на рёбрах $AD,\,BD$ и $BC$ выбраны точки $L,\,M$ и $N$ соответственно так, что $KLMN$ — квадрат со стороной $2$.

а) Доказать, что $BM:MD=3:7$.

б) Найти расстояние от точки $C$ до плоскости $(KLM)$, если известно, что объём пирамиды $CKLM$ равен $50$.

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Дана прямая призма $ABC A_1B_1C_1$. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. На отрезке $AB$ отмечена точка $P$ так, что $AP:PB=3:1$. Точка $Q$ делит пополам ребро $B_1C_1$. Точка $M$ делит пополам ребро $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная $PQ$.

a) Доказать, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

б) Найти отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, если $AA_1=5$, $AB=12$ и $\cos\angle ABC=\tfrac{3}{5}$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

В кубе $A B C D A_1 B_1 C_1 D_1$ точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $A B$ и $A D$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $B_1 N$ и $C M$ перпендикулярны.

б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$, причём она параллельна прямой $C M$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если известно, что $B_1 N = 6$.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ – центр основания $ABCD$, точка $M$ – середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC = 2:1$, $AB = 6$ и $SO = 3\sqrt7$.

а) Докажите, что плоскость $(OMK)$ параллельна прямой $SA$.

б)Найдите длину отрезка, по которому плоскость $(OMK)$ пересечёт грань $SAD$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Прямые $CA_1$ и $AB_1$ перпендикулярны.

NOOOOON a) Докажите, что $AA_1 = AC$.

б) Найдите расстояние между прямыми $CA_1$ и $AB_1$, если $AC = 6,\; BC = 3$.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток